高考数学一轮复习专题6数列第39练等比数列练习含解析

第39练 等比数列

[基础保分练]

1.若数列{an}是等比数列，下列命题正确的个数为( ) ①{an}，{a2n}均为等比数列；

?1?

③??，{|an|}成等比数列； ?an?

2

②{lnan}成等差数列； ④{can}，{an±k}均为等比数列

A.4B.3C.2D.1

2.(2019·绍兴模拟)等比数列{an}中，a1>0，则“a1

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1a8＋a9

3.已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则等于( )

2a6＋a7A.6B.7C.8D.9

4.(2019·金华十校联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是( ) A.若a5>0，则a2017<0 C.若a5>0，则S2017>0

B.若a6>0，则a2018<0 D.若a6>0，则S2018>0

5.(2019·宁波模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为( ) A.12B.9C.16D.18

6.已知数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－a7＝－64，则tan?A.－3B.3C.±3D.－

3

3

2

?a4a6π?等于( )

??3?

7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断一定正确的是( ) A.若S3>0，则a2018>0 B.若S3<0，则a2018<0 C.若a2>a1，则a2019>a2018 11

D.若>，则a2019

a2a1

1

8.公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－2a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，

2则S4等于( ) A.－5B.0C.5D.7

1

9.(2019·浙江名校联考)将公差不为零的等差数列a1，a2，a3调整顺序后构成一个新的等比数列ai，aj，ak，其中{i，j，k}＝{1,2,3}，则该等比数列的公比为________.

?1?n－1*n10.已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－??＋2(n∈N)，则数列{2an}的前100项的和为

?2?

________.

[能力提升练]

1.(2019·杭州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则数列{nan}的前

n项和为( )

A.－3＋(n＋1)×2 C.1＋(n＋1)×2

nnB.3＋(n＋1)×2 D.1＋(n－1)×2

nn1

2.(2019·浙江杭州二中模拟)各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则

2

a3＋a4

的值为( ) a4＋a5

A.C.

5＋1

21－5

2

B.D.

5－1

2

5＋11－5

或 22

3.(2019·温州模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为( ) A.－3B.1C.－3或1D.1或3

4.(2019·湖州模拟)已知等比数列{an}满足

a4＋a61

＝，a5＝4，记等比数列{an}的前n项积为a1＋a38

Tn，则当Tn取最大值时，n等于( )

A.4或5B.5或6C.6或7D.7或8

5.已知数列{an}的首项a1＝2，其前n项和为Sn，若Sn＋1＝2Sn＋1，则an＝________. 6.设Sn为数列{an}的前n项和，2an－an－1＝3·2

n－1

(n≥2)且3a1＝2a2，则Sn＋an＝________.

答案精析

基础保分练

1

1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 8.A 9.－或－2

210.5050

2

?1?n－1?1?n－2

解析 由Sn＝－an－??＋2得，当n≥2时，Sn－1＝－an－1－??＋2，

?2??2??1?n－1

故an＝an－1－an＋??，

?2?

整理得2an＝2

nn－1

an－1＋1，又a1＝，所以{2nan}是首项为1且公差为1的等差数列，故2nan12

101n＝n.数列{2an}的前100项和为1＋2＋3＋4＋…＋100＝×100＝5 050.

2能力提升练

1.D [设等比数列{an}的公比为q， ∵S3＝7，S6＝63，

??∴q≠1，∴?a??

解得?

?a1＝1，???q＝2，

a1

1

－q1－q3

＝7，

6

－q1－q＝63，

3

∴an＝2

n－1

，

2

3

∴nan＝n·2

－2

n－1

，设数列{nan}的前n项和为Tn，∴Tn＝1＋2·2＋3·2＋4·2＋…＋(n－1)·2

2

4

n＋n·2

n－1,

2Tn＝2＋2·2＋3·2＋4·2＋…＋(n－1)·2

nnnnn－1

＋n·2，∴－Tn＝1＋2＋2＋2

nn23

＋…＋2

n－1

－n·2＝2－1－n·2＝(1－n)2－1，∴Tn＝1＋(n－1)×2，故选D.]

11

2.B [设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q(q>0)，则由a2，a3，a1成等差数列得2×

22

22

a3＝a1＋a2，即a1q＝a1＋a1q，则q＝1＋q，解得q＝

1＋5a3＋a4a3＋a415－1

，则＝＝＝， 2a4＋a5a3＋a4qq2

故选B.]

3.C [设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1， 所以Sn＝

a1

－q1－qn＋2

n， ，

2

Sn＋2＝

a1

－q1－q代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q)q＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，

??4－q＝0，则有?

?3＋3a1－3q＝0，?

2

n

3

??a1＝1，解得?

?q＝2?

??a1＝－3，

或?

?q＝－2，?

故a1＝1或－3，故选C.]

4.C [方法一 设数列{an}的公比为q，由1n－57－n则q＝，则an＝a5·q＝2，

2从而可得Tn＝a1·a2·…·an＝2

6＋5＋4＋…＋(7－n)

a4＋a6113

＝，得q＝， a1＋a388

＝＝，

12

所以当(－n＋13n)取最大值时，Tn取最大值，此时n＝6或7，故选C.

2方法二 设数列{an}的公比为q，由

a4＋a61113n－57－n＝，得q＝，则q＝，则an＝a5·q＝2，令a1＋a3882

an＝1，则n＝7，又当n<7时，an>1，当n>7时，an<1，Tn＝a1·a2·…·an，且an>0，所以当n＝6或7时，Tn取最大值，故选C.]

?2，n＝1，?

5.?n－2

??3·2，n≥2

解析 因为Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1). 因为S1＋1＝3，故Sn＋1≠0，所以

Sn＋1＋1

＝2，{Sn＋1}是等比数列，公比为2，首项为3，故Sn＋1

Sn＝3·2n－1－1，

??2，n＝1，

所以an＝?n－2

??3×2，n≥2.

n－1

6.3·2

解析 由2an－an－1＝3·2

nan1an－13

(n≥2)，得n＝·n－1＋，

2424

an1?an－1?

∴n－1＝?n－1－1?， 24?2?

由2an－an－1＝3·2且3a1＝2a2，

可得2a2－a1＝6，即2a1＝6，a1＝3.

?an?11

∴数列?n－1?是以为首项，为公比的等比数列，

24?2?

n－1

(n≥2)，

an1?1?n－1?1?2n－1

则n－1＝·??＝??， 22?4??2?

∴an＝2(2

n1－2n＋1)＝2

1－n＋2，

n 4

?1?1×?1－n?1??2??1123n∴Sn＝?1＋＋2＋…＋n－1?＋(2＋2＋2＋…＋2)＝＋2?1?22

1－2

∴Sn＋an＝3·2.

n－21－2

n＝2·2－2

n1－n.

5