2020高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-3三角函数的图象与性质教师用书理苏教

2019年

∴函数的定义域为.

(2)∵0≤x≤9，∴－≤－≤， ∴－≤sin(－)≤1， 故－≤2sin(－)≤2.

即函数y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－. ∴最大值与最小值的和为2－. 题型二 三角函数的单调性

例2 (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________________.

(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.

?答案 (1)(k∈Z) (2)??2，4? ??

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解析 (1)由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)， 得－＜x＜＋(k∈Z)，

所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为

?kπ－π，kπ＋5π?(k∈Z).

?212212???

(2)由＜x＜π，ω＞0，得

ωπ

＋＜ωx＋＜ωπ＋， 2

又y＝sin x的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，

ωπππ??2＋4≥2＋2kπ，k∈Z，所以?π3π

ωπ＋≤＋2kπ，k∈Z，??42

解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.

又由4k＋－(2k＋)≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈[，]. 引申探究

本例(2)中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos(ωx＋)在(，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________.

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答案 [，]

解析 函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，

ωππ??2＋4≥－π＋2kπ，k∈Z，则?π

ωπ＋≤2kπ，k∈Z，??4

解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，

又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z， 得k＝1，所以ω∈.

思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.

(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

(1)函数f(x)＝sin的单调减区间为________.

(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝________. 答案 (1)，k∈Z (2)2 解析 (1)由已知函数得y＝－sin，

欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所给函数的单调减区间为(k∈Z). (2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，

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y＝sin ωx是增函数；

当≤ωx≤，即≤x≤时，

y＝sin ωx是减函数.

由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增， 在上单调递减，知＝， ∴ω＝.

题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性

例3 (1)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为________.

(2)若函数f(x)＝2tan(kx＋)的最小正周期T满足1

答案 (1)①②③ (2)2或3

解析 (1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π； ②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π； ③y＝cos的最小正周期T＝＝π； ④y＝tan的最小正周期T＝. (2)由题意得，1<<2， ∴k<π<2k，即

例4 (2016·盐城模拟)当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则下列关于函数y＝f(－x)的说法正确的是________. ①是奇函数且图象关于点(，0)对称； ②是偶函数且图象关于点(π，0)对称； ③是奇函数且图象关于直线x＝对称；

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④是偶函数且图象关于直线x＝π对称. 答案 ③

解析 ∵当x＝时，函数f(x)取得最小值， ∴sin(＋φ)＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)， ∴f(x)＝sin(x＋2kπ－)＝sin(x－)， ∴y＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，

∴y＝f(－x)是奇函数，且图象关于直线x＝对称. 命题点3 对称性的应用

例5 (1)已知函数y＝2sin的图象关于点P(x0，0)对称，若x0∈，则x0＝________. (2)若函数y＝cos(ωx＋)(ω∈N*)图象的一个对称中心是(，0)，则ω的最小值为________.

答案 (1)－ (2)2

解析 (1)由题意可知2x0＋＝kπ，k∈Z， 故x0＝－，k∈Z，

又x0∈，∴－≤k≤，k∈Z， ∴k＝0，则x0＝－.

(2)由题意知π＋＝kπ＋(k∈Z)，

∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2.

思维升华 (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断. (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义.

②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.

(1)(2016·常州模拟)已知函数f(x)＝2sin(x＋)，若对任意的实数x，总