11.4单摆学案

11.4 《单摆》导学方案

2011年4月22日 编写：杨洪涛 审阅：张四林 课时：2 学习要求

1.知道什么是单摆，了解单摆运动的特点 2.通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系

3.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。会用单摆测定重力加速度 学习重难点

重点：掌握好单摆的周期公式及其成立条件www.jkzyw.com 难点：单摆回复力的分析

学习过程 【提出问题】 什么是简谐运动？

生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动，这些摆动遵循什么样的规律？

问题：什么样的摆可以看成单摆？ 1. 2.

【注意】单摆是实际摆的理想化模型

提出问题：单摆摆动时摆球在做振动，它是不是简谐振动？

【演示】

一、单摆的回复力 【提出问题】一般条件下，如何判断单摆的振动是不是简谐振动，最简单的方法是什么？ 推导单摆的回复力

提问：单摆的回复力又由谁来提供？

当摆线最大偏角α＜10°时，F回=mgsinθ≈___________=___________ F回和x成正比，比例系数k=

mg。 l

注意，在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐振动。 回忆：弹簧振子做简谐运动的周期公式是：____________________

二、单摆的周期 （一） 【提出问题】单摆的周期与什么因素有关？

www.jk【演示】

单摆的振幅、质量、摆长对周期各有什么影响？ 比较三种情况下的周期，可以得出什么结论？

实验表明：单摆振动的周期与___________无关，在振幅较小时与________无关；

但与__________有关，摆长越长，周期也越长。 （二） 【提出问题】单摆周期与摆长有什么定量关系？

探究：单摆周期与摆长的关系

方法：做一个单摆，测量摆长和摆的周期，得到一组数据；改变摆长，再得到几组数据。 从中找出周期和摆长的关系。 注意点：

1.摆的振幅不要太大 2.摆线和摆球如何选择？ 3.细线上端的悬挂方式 4.摆长的测量 5.周期的测量 6.数据分析

【结论】荷兰物理学家惠更斯发现：单摆做简谐振动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 单摆的周期公式：T=2π

lg

mk【思考】能否用简谐运动的周期公式，结合单摆的回复力公式推导出周期公式？ 提示：简谐运动周期公式：T=2π

单摆的回复力公式：F= -mglx 其中k=

mgl

三、用单摆测定重力加速度

【提出问题】由单摆周期公式，你能否想出测重力加速度的方法？ 提示：由单摆周期公式T=2π

lg可得g=________,由此可知只需测出______________

就可以求出当地的重力加速度.

（1）原理：由单摆周期公式得g=____________.

（2）测周期时，应从摆球经过____________时开始计时，需测30次至50次__________时间，取平均值计算. （3）处理数据的方法 ①用平均值法处理数据，得到各组重力加速度值，则g=____________. ②用图象法处理实验数据：以T2为横坐标，L为纵坐标，则图象的斜率k=____________.

课堂练习

1.一个理想的单摆，已知其周期为T。如果由于某种原因（如转移到其他星球）自由落体加1111速度变为原来的2，振幅变为原来的3，摆长变为原来的4，摆球质量变为原来的5，它

的周期变为多少？

2.一单摆的振动周期是2 s，则下列做简谐运动的情况下单摆的周期为 （1）摆长缩短为原来的1/4时，T=____________s； （2）摆球质量减小为原来的1/4时，T=____________s； （3）振幅减小为原来的1/4时，T=____________s.

（4）重力加速度减为原来的1/4时,T=_________s.

3.周期为2s的单摆叫做秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，已

2

知月球上的自由落体加速度为1.6m/s,它在月球上做50次全振动要用多少时间？

4.图11.4-8是两个单摆的振动图象。 （1）甲、乙两个摆的摆长之比是多少？

（2）以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t=0起，乙第一次到达右方最大位移时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？

5.一条细线下面挂一个小球，让它自由摆动，作出它的振动图象如图11.4-9.问： （1）你能根据图中的数据算出它的摆长吗？

（2）你能根据图中的数据估算它摆动的最大偏角吗？

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课堂小结

疑难突破

1.单摆振动的简谐性和周期性

剖析：（1）在偏角很小的情况下（通常摆角θ<5°）回复力为摆球重力沿切线方向的分量mgsinθ，在摆角很小时，sinθ≈x/L，所以单摆的回复力F=-mgx/L=-kx，单摆做简谐运动.需要强调的是，在摆角较大的情况下，摆的回复力并不与位移成正比，所做的摆动不是简谐运动. （2）单摆周期公式T=2π

课后提高

l是荷兰物理学家惠更斯在伽利略等时性基础上提出的，周

g期T与振幅、摆球质量无关，只与摆长l和所处地点重力加速度g有关，摆长l是指悬点到摆球球心间的距离.

11.4-1 2.单摆运动中的等效问题

剖析：（1）等效摆长，在图11-4-1中，三根等长的绳L1、L2、L3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d，L1、L2与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆球在纸面内做小角度的

左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O1处，故等效摆长为L3+d/2，周期T=2π

L3?gd2；若摆球做垂直纸面的

d2.

小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为L3+L2sinα+d/2，周期T2=2π（2）等效重力加速度，公式中的g由单摆所在的空间位置决定. 由GL3?L2sin??gM=g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆2R所在处的等效值g代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2.

【例题1】如图11-4-2所示，三根细线于O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO=30°，已知OC线长是L，下端C点系着一个小球.下面说法中正确的是（ )

A.让小球在纸面内振动，周期T=2π

Lg

B. B.让小球在垂直纸面方向振动，其周T=2π3L

2gC.让小球在纸面内振动，周期T=2π3L

2g11-4-2 D.让小球在垂直纸面内振动，周期T=2πL

g注意：此题是典型的等效摆长问题，要正确计算出公式T=2πL中L的值.

g练习：有一天体半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，在地球表面走时准确的摆钟移到该天体的表面，秒针走一圈的实际时间为（ )

A.

21min B.

22min C.

2min D.2 min

【例题2】单摆的摆长不变，摆球质量变为原来的4倍，经过平衡位置时的速度变为原来的1/2，单摆的振幅是否发生改变？

【例题3】.在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用刻度尺量悬点到小球的距离为96.60 cm，用卡尽量得小球直径是5.260 cm，测量周期3次，每次是在摆球通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到计时终止，结果如下表：

数的次数 时间（s） 1 61 60.40 2 81 79.80 3 71 70.60 这个单摆振动周期的测定值是__________ s，当地重力加速度的值是__________m/s2.（取三位有效数字）