浅析“数形结合”思想在高考解题中的应用

〖分析〗此题重点考察集合的交集，补集的运算；画韦恩氏图，数形结合。 解∵A??1,2,3?,B??2,3,4? ∴AB??2,3? 又∵U??1,2,3,4,5? ∴eB???1,4,5? U?A_ u_ 1_ A_ B〖答案〗B 点评：画出文氏图，提高了解题的直观性，使解题思路清晰，分类清楚，易于操作。

统计：2008全国Ⅱ 1、天津6 、重庆11、上海2、陕西2、 辽宁1、安徽2、浙江2、江西2山东1、江苏4均为与例1例2相似利用数形结合解答的集合问题

2、利用数形结合解决函数（也包括三角函数）的问题

函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要相互转化，在解决函数问题，尤其是较为繁琐的（如分类讨论、求参数的范围等）问题时要充分发挥图象的直观作用，从而实现数形结合与转化，简化解题。

如方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数y= f（x）和y=g（x）的图象的交点个数问题。不等式f（x）＞g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图象位于函数y=g（x）的图象上方的那部分点的横坐标的集合。有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理。

x3?2?])的例3. （2008浙江卷,理5） 在同一平面直角坐标系中，函数y?cos(?)(x?[0，221

图象和直线y?的交点个数是（ ）

2

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 〖分析〗本题考查了诱导公式以及三角函数的图象等知识，不规则方程判断根的个数问题。

2 __ 35 _ 4x3?x2?]), 解：∵y?cos(?)?sin,(x?[0，

2221

图象如图所示，直线y?与该函数图象有两个交点。

2

〖答案〗C

点评：本题考查学生的数形结合的能力。在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。对于一些不规则方程判断根的个数问题,用解方程的方法求出解,再说有几个根是不可能的,而借助

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数形结合将根的个数问题转化为图像的交点个数问题.

例4.（2008山东卷，文12）已知函数f(x)?loga(2x?b?1)(a?0，a?1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是（ ） A．0?a?1?b?1 C．0?b?a??1

?1y O x

B．0?b?a?1?1 D．0?a?b?1

?1?1

?1 〖分析〗本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 解：由图象知，函数为增函数，∴a?1，?0?a?1?1; 取特殊点x?0??1?y?logab?0,

1 ??1?loaga?lobg?laog? 1a0,110??b?1 ∴?b?1，∴

aa〖答案〗A

点评：本题先给出函数图像，结合已知条件及对数函数性质，从图象中挖掘出a?1,再利用代数方法求得结果，属于典型的数形结合。

例5.（2008福建卷，理12）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ）

分析：注意观察导函数的图象以及原函数的图象，并把所得到的信息转化为原函数的信息，加以排除选择。

〖分析〗本题考查识别函数图像的能力。

解：令F(x)?f(x)?g(x)，则F?(x)?f?(x)?g?(x)，当x?x0时，由图象知f?(x)?g?(x)，即F?(x)?0，F(x)是增函数，则答案Ａ，Ｃ错， 当x?x0时，f?(x)?g?(x)，即F?(x)?0，

F(x)是减函数，则答案Ｂ错，故选Ｄ．

〖答案〗Ｄ

点评：对于由图形给出的信息要从中提炼出来，并适当地用数学语言表述准确，再利用数的方法分析解答，本题中的两个函数可以转化为一个函数，进行构造，导函数的正负转化为原函数的增减。

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ππ?例6. (2008山东卷、理3)函数y?lncosx???x???的图象是（ ）

2??2y y y y π? 2O A．

πx π ? 22O πx π ? 22O πx πO ? 22D．

πx

2B． C．

〖分析〗 y?lncosx(??2?x??2

)是偶函数，可排除B、D，由cosx的值域可以确定.因此

本题应选A. 〖答案〗A

点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，仔细观察图像给出的信息，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，俩者相结合快速解答本题。

统计：2008全国? 2，6，8、全国Ⅱ 3，8、北京8、天津3，7，9、 重庆4，6，13、上海4，6，11、陕西7，11、四川3，5，11、 辽宁12，13，16、 浙江5，8，15、安徽9,11,13、福建4、江西3，6，12、湖南6，10，13，14、 湖北4，13、山东4，5 广东12、 宁夏海南1，7、 均为函数与图像相结合的典型题目。

3、利用数形结合解决不等式和线性规划问题

处理不等式问题时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，利用图象的直观性,通过对问题的定性分析,可以无需进行计算就可以求解，从图形上找出解题的思路，是为数形结合在解不等式问题中的应用；线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用 例7．（2008江西卷,理14）不等式2〖分析〗画出函数y?2x和函数y?

3x??1x≤

1的解集为 211

在同一直角坐标系中的图像，找出其交点（-1，），22利用指数函数的单调性性质，则不等式的解集就是交点左边的x的取值范围，具体到本题，

3则只需要解x??1??1的解即可。

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Y （-1，1） 2O y?2x(0,1) y?12X 〖答案〗（－∞，－3 ] ∪ (0，1 ]

点评：用数形结合思想解方程（组）与不等式，关键是构造它们所对应的函数，再利用函数的图象就可以说明结果，这种解法集中体现了数形结合的思想和知识的内在联系。

?x?0,?例8．（2008年浙江,理17）若a?0,b?0，且当?y?0,时， 恒有ax?by?1，

?x?y?1? 则以a,b为坐标点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于__________。 B 〖分析〗作出可行域，如图阴影部分所示，

?x?0,?不等式组?y?0,表示的平面区域为AOB，如图，0?y?1 ?x?y?1?y O A x 由ax?by?1恒成立知，当x?0时，by?1恒成立，当y?0成立；当0?y?1时，b?1恒成y立，∴0?b?1；同理，0?a?1∴以a,b为坐标点P（a，b）所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1。 〖答案〗 1

点评：线性规划的相关知识要画出图形，借助图形解答，求解的最佳方法就是利用数形结合,先理解所研究对象的几何意义,然后用运动的观点去分析,就可以以不变应万变求解这类问题.此类题目在各地高考试题中均有考查，主要以选择、填空的形式出现。

统计：2008全国? 9、 全国Ⅱ 4、北京2，13、天津8，16、 上海1，8 江西9，14、 山东16、宁夏海南6、 江苏11

全国? 13、全国Ⅱ 5、北京5天津2、陕西10、安徽15、浙江17福建8、湖南3、 广东4、 山东12

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