训练10数列求和及其综合应用

常考问题10 数列求和及其综合应用

(建议用时：50分钟)

1

1．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为

n＋ n＋1

( )．

A．25 B．576 C．624 D．625 1

解析 an＝＝－( n－

n＋ n＋1n＋1)]＝ 答案 C

2．在等差数列{an}中，a1＝142，d＝－2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{bn}，则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是

( )．

A．23 B．24 C．25 D．26

解析 因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列{bn}，所以新数列的首项为b1＝a1＝142，公2

差为d′＝－2×3＝－6，则bn＝142＋(n－1)(－6)．令bn≥0，解得n≤243，因为n∈N*，所以数列{bn}的前24项都为正数项，从25项开始为负数项．因此新数列{bn}的前24项和取得最大值．故选B. 答案 B

14

3．已知各项都为正的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得 am·an＝4a1，则m＋n的最小值为

( )．

35254A.2 B.3 C.6 D.3 解析 由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(与条件中等

2m＋n－22

比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 am·an＝4a1，得aman＝16a2＝16a1，即有m＋1，即a12

n＋1)，前n项和Sn＝－[(1－2)＋(2－3)]＋?＋(n－

n＋1－1＝24，故n＝624.故选C.

141?14?1?4mn?1?n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么m＋n＝6(m＋n)?m＋n?＝6?n＋m＋5?≥6?2

?????4mn3

当n＝m，即n＝2m＝4时取得最小值2. 答案 A

4mn?3

?＝，当且仅·＋5

nm?2

4．(2013·聊城模拟)已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 006和a1 007是方程x2－2 012x－2 011＝0的两根，则使Sn>0成立的正整数n的最大值是

( )．

A．1 006 B．1 007 C．2 011 D．2 012

解析 由题意知，a1 006＋a1 007＝2 012>0，a1 006·a1 007＝－2 011<0，又因首项为正等差数列，所以a1 n?a1＋an?>0，a<0,2a＝a＋a>0,2a＝a＋a<0，即S>0，S<0，又因S＝，n0061 0071 00612 0111 00712 0132 0112 013n

2的最大值为2 011. 答案 C

5．已知函数f(x)＝cos x(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1，x2，方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为

( )．

1133A．－2 B.2 C.2 D．－2 π3π

解析 不妨设x1

12π4π4π2π3ππ

若m＝－2，则x3，x4的值分别为3，3，因为3－3≠2－3，显然这四个数不能构成等差数列； 1π5πππ3ππ

若m＝2，则x3，x4的值分别为3，3，因为2－3≠2－2，故这四个数不能构成等差数列； 3π11π11π3π3ππ

若m＝2，则x3，x4的值分别为6，6，因为6－2≠2－2，显然这四个数不能构成等差数列； 35π7ππ

若m＝－2，则x3，x4的值分别为6，6，显然这四个数能构成等差数列，公差为3. 答案 D

6．在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________． an＋12an3

解析 在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得n＋1＝5×5n＋5，①

5

an232

令5n＝bn，则①式变为bn＋1＝5bn＋5，即bn＋1－1＝5(bn－1)，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为a1323?2?an?3??2?b1－1＝－1＝－，公比为.所以bn－1＝?－5?×?5?n－1，即bn＝1－×?5?n－1＝n，故an＝5n－3×2n

5555??5????

－1

.

答案 an＝5n－3×2n－1 7．(2013·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6

12－22＋32－42＝－10 ??

照此规律，第n个等式可为________．

解析 左边为平方项的(－1)n＋1倍的和，右边为(1＋2＋3＋?＋n)的(－1)n＋1 倍． n?n＋1?

答案 12－22＋32－42＋?＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·2 S2n8．(2013·临沂模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，若S(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；

n

若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________. n?c1＋cn?2n?c1＋c2n?S2n

解析 由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn＝，前2n项和为S2n＝，所以S＝22n2n?c1＋c2n?

22nd2S2n＝2＋＝2＋.因为数列{cn}是“和等比数列”，即S为非零常数，所以d

n?c1＋cn?4＋nd－d4－dn

1＋

2nd＝4.答案 4

22

9．(2013·江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝

n＋15*

，数列{b}的前n项和为T，证明：对于任意的n∈N，都有T<2nnn

64. ?n＋2?2an

2

(1)解 由Sn－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，由于{an}是正项数列，所以Sn

＋1>0.所以Sn＝n2＋n.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，n＝1时，a1＝S1＝2适合上式．∴an＝2n. (2)证明 由an＝2n，得

1?n＋1n＋11?1

－2?bn＝＝22? 2＝n?n＋2?16?n＋2?2a24n?n＋2???n1??11??11?1??

Tn＝16??1－32?＋?22－42?＋?32－52?＋?

???????

1??11???1

－－＋??n－1?2?n＋1?2?＋?n2?n＋2?2??

?????

111?1?1?51?＝16?1＋22－?n＋1?2－?n＋2?2?<16?1＋22?＝64.

????

10．已知函数f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列{an}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为Sn，点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上；数列{bn}满足b1＝2，bn≠1，且(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)(n∈N＋)． (1)求an并证明数列{bn－1}是等比数列； (2)若数列{cn}满足cn＝

4

n－1an

，证明：c1＋c2＋c3＋?＋cn<3.

·?bn－1?

(1)解 因为点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上，所以a2n＝S2n－1.

22?a1＝S1，?a1＝a1，

令n＝1，n＝2，得?2即?解得a1＝1，d＝2(d＝－1舍去)，则an＝2n－2

?a2＝S3，??a1＋d?＝3a1＋3d，

1.

由(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)， 得4(bn－bn＋1)(bn－1)＝(bn－1)2.

由题意bn≠1，所以4(bn－bn＋1)＝bn－1， 即3(bn－1)＝4(bn＋1－1)，所以

bn＋1－13

＝. bn－14

3

所以数列{bn－1}是以1为首项，公比为4的等比数列． ?3?(2)证明 由(1)，得bn－1＝?4?n－1.

??2n－12n－1ancn＝n－1＝＝. 4·?bn－1?n－1?3?n－13n－1?4?4·??令Tn＝c1＋c2＋c3＋?＋cn，

2n－32n－1135

则Tn＝30＋31＋32＋?＋n－2＋n－1，

332n－32n－11135

T＝＋＋＋?＋＋3n， 1223n3333n－1

① ②

1

1－n－132n－12n－12n－121222221

①－②得，3Tn＝30＋31＋32＋33＋?＋n－1－3n＝1＋3·1－3n＝2－3n－1－3n＝2－3

1－32?n＋1?n＋13n.所以Tn＝3－3n－1. n＋1

所以c1＋c2＋c3＋?＋cn＝3－n－1<3.

3

3

11．(2013·天津卷)已知首项为2的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5

＋a5，S4＋a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)设Tn＝Sn－S(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．

n

(1)解 设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3a51

＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a＝4.

3

31

又{an}不是递减数列且a1＝2，所以q＝－2. 故等比数列{an}的通项公式为 3?1?n－13an＝2×?－2?＝(－1)n－1·2n. ??

1

?1＋2n，n为奇数，

?1?n?(2)由(1)得Sn＝1－?－2?＝???1

1－??2n，n为偶数.

311325

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1

1

311347

当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以4＝S2≤Sn<1，故0>Sn－S≥S2－S＝4－3＝－12.

n

2

715

综上，对于n∈N*，总有－12≤Sn－S≤6.

n

5

所以数列{Tn}最大项的值为6， 7

最小项的值为－12.