上海市黄浦区2018届高三一模数学试卷及答案解析

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21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别

与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD． （1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；

（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．

（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式． 【解答】解：（1）∵ACBD为正方形， ∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x， 设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）， 解方程组

，得

=

=

，

由对称性可知，S=4=；

（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx， 设P（x0，y0），则

+

=1，

又∵d1=，d2=，

∴+=+=，

将

=b2（1﹣

）代入上式，

得+=，

∵d12+d22为定值， ∴k2﹣

=0，即k=±，

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于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时

+=；

（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0）， 则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，

点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形， 椭圆均过点（1，1），于是有②当x0≠0或y0≠0时，将y=整理得：（a2

+b2

+

=1；

+

=1，

的实数解．

（1﹣x0x）代入

）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2

，

）=0，

由韦达定理可知x1x2=

同理可知y1y2=∵ACBD为菱形，

∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0， ∴

+

+

，

=0， ），

整理得：a2+b2=a2b2（又∵

+

=1，

+

∴a2+b2=a2b2，即

=1；

+

=1．

综上所述，a，b满足的关系式为

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