数值分析简明教程课后习题答案（第二版）

【解】 因为y'?f(x,y)??y?xy2(0?x?0.6)，h?0.2，且y(0)?1，则改进的欧拉公式：

?22?yp?yn?hf(xn,yn)?yn?h(?yn?xnyn)?0.8yn?0.2xnyn?22?yc?yn?hf(xn,yp)?yn?h(?yp?xnyp)?yn?0.2?(yp?xnyp)。 ?(yp?yc)?yn?1?2?计算结果见下表。

n xn yp yc yn 与原结果比较见下表 0 0.0 1.0 0.76 0.88 0 0.0 1.0 0.88 1 0.2 0.6730 0.7092 0.6911 1 0.2 0.8 0.6911 2 0.4 0.5147 0.5564 0.5356 2 0.4 0.6144 0.5356 3 0.6 0.3941 0.4319 0.413 3 0.6 0.4613 0.413 n xn yn yn(改进) 3.3 龙格-库塔方法

1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题y'?8?3y，y(0)?2，试取步长h?0.2计算y(0.4)的近似值，要求小数点后保留4位数字。

【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：

?h?yn?1?yn?(K1?2K2?2K3?K4)6??K?f(x,y)1nn?h?； K?f(x,y?K1)?21nn?22??h?K3?f(x1,yn?K2)n?2?2?K?f(x,y?hK)n?1n3?4列表求得y(0.4)如下：

n 0 1 2 xn 0.0 0.2 0.4 yn 2.000 2.3004 2.4654

4.1 迭代法及收敛定理

1、（p.153，题1）试取x0?1，用迭代公式xk?1?20x?2xk?102k(k?0,1,2,?)，求

方程x3?2x2?10x?20?0的根，要求准确到10?3。

【解】 迭代计算结果列于下表 k 1 2 3 4 5 xk 1.53846 1.29502 1.40182 1.35421 1.37530

|xk-xk-1| 0.53846 0.24344 0.10680 0.04761 0.02109 <0.001 N N N N N k 6 7 8 9 xk 1.36593 1.37009 1.36824 1.36906 |xk-xk-1| 0.00937 0.00416 0.00185 0.00082 <0.001 N N N Y 因为|x9?x8|?0.00082?10?3，所以x??x9?1.36906。 2、（p.153，题2）证明方程x?代过程xk?1?1212cosx有且仅有一实根。试确定这样的区间[a,b]，使迭

cosxk对x0?[a,b]均收敛。

12cosx，则当x?R时，g(x)?12sinx|?121212cosx?[?11,]，且一阶导数2212cosxk对

【证明】设：g(x)?g'(x)??12sinx连续， |g'(x)|?|??1，所以迭代过程xk?1?x0?R均收敛。（压缩映像定理），方程x?cosx有且仅有一实根。<证毕>

3、（p.153，题4）证明迭代过程xk?1?xk2?1xk对任意初值x0?1均收敛于2。

【证明】设：g(x)?x2?1x，对于任意x?1，因为

12x2?1x?2x1??2x2，所以g(x)?2。

一阶导数g'(x)?12?1x2??1， 根据压缩映像定理，迭代公式xk?1?xk2?1xk对任意

初值x0?1均收敛。假设limxk?x，对迭代式xk?1?k???xk2?1xk两边取极限，则有

x??x?2?1x?，则?x?2??2，解得x??2，因x??2不在x?1范围内，须舍去。

??故x?

?2。<证毕>

4.2 牛顿迭代法

1、（p.154，题17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：

（1）x3?3x?1?0，x0?2 （2）x2?3x?ex?2?0，x0?1

【解】 （1）设f(x)?x3?3x?1，则f'(x)?3x2?3，牛顿迭代公式：

xk?1?xk?f(xk)f'(xk)?xk?xk?3xk?13x?32k3?2xk?13(x?1)2k3(k?0,1,2,?)，迭代计算过

程见下列表。 k xk |xk-xk-1| 0.11111 0.00944 <0.0001 N N k 3 xk 1.87939 |xk-xk-1| 0.00006 <0.0001 Y 1 1.88889 2 1.87945

因为|x3?x2|?0.00006?10?4，所以x??x3?1.879。

f(xk)f'(xk)xk?3xk?e2xkxk（2）设f(x)?x2?3x?ex?2，则f'(x)?2x?3?ex，牛顿迭代公式：

xk?1?xk??xk??22xk?3?e?xk?e2xk(xk?1)?2xk2xk?3?e(k?0,1,2,?)，迭代计算过程见下列表。 k xk |xk-xk-1| 0.73106 0.01155 <0.0001 N N k 3 4 xk 0.25753 0.25753 |xk-xk-1| 0.00014 0.00000 <0.001 N Y 1 0.26894 2 0.25739

?4因为|x3?x2|?0.00000?10，所以x??x4?0.2575。

2、（p.154，题18）应用牛顿法于方程x3?a?0，导出求立方根3a(a?0)的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。

32【证明】（1）设：f(x)?x?a，则f'(x)?3x，对任意x?0，牛顿迭代公式

xk?1?xk?f(xk)f'(xk)?xk?xk?a3xk23?2xk?a3xk23 k?0,1,2,?

（2）由以上迭代公式，有：limxk?x?k???3a。设 g(x)?2x?a3x?23(x?0)

g(x)?x；g'(x)????23?(1?ax3)x?3?0；g''(x)?a?2ax4x?323。

aaxk?1?x?g(xk)?g(x)?g'(x)(xk?x)????g''(?)2!(xk?x)

?2limxk?1?x??2k??(xk?x)?g''(x)2!??13，可见该迭代公式具有二阶收敛性。<证毕>

a

5.1 线性方程组迭代公式

?3x1?x2?21、（p.170，题1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：?，要求结

?x1?2x2?1果有3位有效数字。

1(k)21?(k?1)(k)x??x??(2?x)122??333【解】 雅可比迭代公式：?，迭代计算结果列于下表。

?x(k?1)??1x(k)?1?1(1?x(k))211?222?(k)(k)(k)(k?1)(k)(k?1)k x1 x2 |x1?x1| |x2?x2| ?0.0005? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

120 2/3 1/2 11/18 7/12 0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.60005 0.59992 (10)0 1/2 1/6 1/4 7/36 0.20833 0.19908 0.20139 0.19985 0.20023 0.19998 x2?x2?(10)- 2/3 1/6 1/9 1/36 0.01852 0.00463 0.00309 0.00077 0.00051 0.00003 - 1/2 1/3 1/12 1/18 0.01389 0.00925 0.00231 0.00154 0.00038 0.00025 N N N N N N N N N Y x1?x1??0.600;?0.200；

由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为

?10?3。

1(k)21?(k?1)(k)x??x??(2?x2)12??333高斯-赛德尔迭代公式：?，迭代计算结果列于下表。

?x(k?1)??1x(k?1)?1?1(1?x(k))212?226?(k)(k)(k)(k?1)(k)(k?1)k x1 x2 |x1?x1| |x2?x2| ?0.0005? 0 1 2 3 4 5

x1?x1?(5)0 2/3 0.6111 0.6019 0.6003 0.6000 ?0.600;?0 1/6 0.1944 0.1991 0.1999 0.1999 x2?x2(5)- 2/3 0.0092 0.0016 0.0003 - 1/6 0.0047 0.0008 0.0000 12 N N N N Y ?0.200；

?10?42、（p.171，题7）取??1.25，用松弛法求解下列方程组，要求精度为

?4x1?3x2?16??3x1?4x2?x3?20 ??x?4x??1223?

。