步步高 学案导学设计2014-2015学年高中数学(苏教版，选修2-1) 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 课时作业

2.2.2 椭圆的几何性质

课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．

焦点在x轴上 焦点在y轴上 椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 图形 标准 方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 短轴长＝______，长轴长＝______ 对称轴是________，对称中心是______

一、填空题

1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．

x2y2

2．P是长轴在x轴上的椭圆2＋2＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半

ab

焦距为c，则PF1·PF2的最大值与最小值之差为________． 3．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________． 4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为______________． 5．如图所示，A、B、C分别

xy

为椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为________．

ab

→→

6.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是____________．

5

7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方

5

程为______________．

x2y2

8．直线x＋2y－2＝0经过椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离

ab

心率为________________________________________________________． 二、解答题

9．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且

22

此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(2－1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标． 10.

x2y2

如图，已知P是椭圆2＋2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O

ab

a2

是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－ (c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，

c

若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.

能力提升

11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．

x2y2

12.已知F1、F2是椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的左、右两个焦点，A是椭圆上位于第一象限内

ab

→→

的一点，点B也在椭圆上，且满足OA＋OB＝0(O是坐标原点)，AF2⊥F1F2.若椭圆的离心

2

率等于，△ABF2的面积等于42，求椭圆的方程．

2

1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．

2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．

3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是0

2．2.2

知识梳理 焦点的 位置 椭圆的几何性质

焦点在y轴上 焦点在x轴上 图形 标准 方程 范围 x2y2＋＝1 a2b2－a≤x≤a，－b≤y≤b

y2x2＋＝1 a2b2－b≤x≤b，－a≤y≤a

顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 作业设计 11. 4

解析 由题意可得2

(±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a) 短轴长＝2b，长轴长＝2a (±c,0) (0，±c) 2c＝2a2－b2 对称轴是坐标轴，对称中心是原点 ce＝，0

2．c2

解析 由椭圆的几何性质得PF1∈[a－c，a＋c]，PF1＋PF2＝2a，所以PF1·PF2≤ ?PF1＋PF2?2＝a2，当且仅当PF＝PF时取等号．

12

?2?PF1·PF2＝PF1(2a－PF1)＝－PF21＋2aPF1 ＝－(PF1－a)2＋a2≥－c2＋a2＝b2， 所以PF1·PF2最大值与最小值之差为a2－b2＝c2. 2

3.或2－1 2

解析 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b＝c，此时可求

ccc2

得离心率e＝＝22＝＝；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设

a2c2b＋c

c2cm

直角边长为m，故有2c＝m,2a＝(1＋2)m，所以，离心率e＝＝＝＝2－1.

a2a?1＋2?m

x2y2

4.＋＝1 3616－1＋55. 2

解析 由题意知，由(a＋c)2＝a2＋a2＋b2， 又∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，

－1＋5c

∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.

a22

6.?0，?

2??

→→

解析∵MF1·MF2＝0，

∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径， 由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部， 设点P为椭圆上任意一点，则OP>c恒成立， 由椭圆性质知OP≥b，其中b为椭圆短半轴长， ∴b>c，∴c22c2， c?21c2∴?<，∴e＝<. ?a?2a2

2

又∵0

2

22xy

7.＋＝1 4536

x2y2

解析 设椭圆的方程为2＋2＝1 (a>b>0)，

ab