第2章 轴向拉伸与压缩 - 图文

第2章 轴向拉伸与压缩

2.1 轴向拉伸与压缩的概念

在工程结构中，承受轴向拉伸或压缩的构件相当多。例如图2—1所示的联接螺钉，当拧紧螺帽时，被拧紧的工件对螺钉有反作用力，其合力将通过螺钉横截面的形心，并且沿螺钉轴线的方向使螺钉受拉。图2—2所示的内燃机连杆，在燃气爆发冲程中受压。这类杆件的受力特点是：外力合力的作用线与杆的轴线相重合；其变形特点是，杆件产生沿杆轴线的伸长或缩短。本章只研究直杆的拉伸与压缩，因此可将这类杆件的形状和受力情况进行简化，得到如图2—3所示的受力简图。图中的实线为受力前的形状，虚线表示变形后的形状。

活塞

连杆

曲柄 (a)(b) 图2-2

图2-3

2.2 轴向拉伸或压缩时的应力

一、横截面上的内力

取一直杆，在它两端施加一对大小相等、方向相反，作用线与直杆轴线相重合的外力，使其产生轴向拉伸变形，如图2—4a所示。为了显示拉杆横截面上的内力，沿横截面m?m假想地把拉杆分成两部分。杆件横截面上的内力是一个分布力系，其合力为FN，如图2—4b和2—4c所示。由左段的静力平衡条件?Fx?0得

FN?F?0FN?F因为外力F的作用线与杆轴线相重合，所以内力合力FN的作用线也一定与杆轴线相重合，故称FN为轴力（normal force）。为了使左右两段同一截面上的轴力，不仅大小相等而且正负符号也相同，必须联系变形，对轴力的符号作如下规定：使杆产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负。

(a)(b)(c)图2-4

二、横截面上的应力

仅仅知道杆件横截面上的轴力并不能解决杆的强度问题。例如，两根材料相同而横截面面积不同的直杆，受到同样大小的轴向拉力作用，两杆横截面上的轴力也相同。当轴向拉力逐渐增大时，横截面面积小的直杆，必定先被拉断。这说明杆件强度不仅与轴力大小有关，而且与横截面面积有关。所以必须用横截面上的应力来度量杆件的强度。

在拉(压)杆横截面上，与轴力FN相对应的是正应力?。要确定该应力的大小，必须了解?在横截面上的分布规律。由于内力与变形之间存在一定的关系，因此可通过实验的方法观察其变形规律，从而确定正应力?的分布规律。

取一等直杆，在其侧面上画两条垂直于轴线的横线ab和cd，如图2—5a所示。然后在杆两端施加轴向拉力，使杆产生拉伸变形。可以发现，ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线，只是分别平移到了a?b?和c?d?。这一现象是杆件变形在表面的反映。由此推测，杆内部的变形情况也是如此。因此可作如下假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。这个假设称为平面假设。由平面假设可以推断，拉杆所有纵向纤维的伸长相等。根据材料均匀性假设，每根纵向纤维受力相同，所以横截面上的内力是均匀分布的，即横截面上各点处正应力?相等，如图2—5b所示。

ac

c′a′ (a)′bd′d b (b) 图2－5

若杆的横截面面积为A，则微面积dA上的法向内力元素?dA组成一垂直于横截面的平行力系，其合力为FN。于是由静力关系得

FN=?dA

A? 由于横截面上各点处的正应力相等，则

FN=??dA

A ??FN (2—1) A式（2－1）为拉杆横截面上正应力的计算公式。式中?为横截面上的正应力，FN为横截面上的轴力，A为横截面面积。公式(2—1)也同样适用于轴向压缩的情况．当FN为拉力时，?为拉应力，规定为正，当

FN为压力时，?为压应力，规定为负。应该指出，在载荷作用点附近的截面上，正应力均匀分布的结论

有时是不成立的。在实际构件中，载荷以不同的加载方式施加于构件。不同的加载方式，对截面上的应力分布是有影响的。但是，实验研究表明，杆端加载方式的不同，只对杆端附近截面上的应力分布有影响，其影响长度不超过杆的横向尺寸。这一论断，称为圣维南（Saint-Venant）原理。根据这一原理，在拉压杆中，离外力作用点稍远的横截面上，应力分布便是均匀的了。

例2-1 一变截面圆钢杆ABCD，如图2—6a所示。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，试求：

1.各截面上的轴力，并作轴力图： 2．杆的最大正应力?max。

解：(1)求轴力及轴力图 用截面分别在I—I、Ⅱ—Ⅱ、Ⅲ—Ⅲ截面处将杆截开，保留右边部分，各截面上的轴力分别以FN1、FN2、FN3表示，并均假定为拉力，各部分的受力简图分别如图2－6b所示。由各部分的静力平衡方程可得 FN1?F1?20kN FN2?F1?F2??15kN FN3?F1?F2?F3??50kN

其中负号表示轴力与假定方向相反，即轴力为压力。由于钢杆受到两个以上的轴向外力作用，因而杆的各部分横截面上的轴力将不相同。杆的各横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，可用轴力图表示。

选取一坐标系，其横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面的轴力，然后根据AB，BC和CD段内的轴力的大小与符号，可绘出表示钢杆轴力与截面位置关系的图线，即所谓轴力图(diagram of normal force)。习惯上将拉力画在x轴的上侧，压力画在x轴的下侧。这样从轴力图上不但可以看出各段轴力的大小，而且还可看出各段的变形是拉伸还是压缩。根据AB、BC、CD段内轴力的大小和符号，画出的轴力图，如图2－6c所示。

(2)求最大正应力 由于圆截面钢杆为一阶梯形，故AB、BC及CD三段内不仅内力不同，而且横截面面积亦不同，这就需要分段求出各横截面上的正应力。利用式(2－1)可分别求得AB、BC和CD段内的正

Ⅲ(a)ⅢⅡⅠⅠⅠ(b)ⅢⅡⅡⅠⅡⅢ(c)图2-6应力为

FN14FN14?20?103?1????176.8?106Pa?176.8MPa 22?6A1?d1??12?10FN24FN2?4?15?103?2?????74.6MPa 22?6A2?d2??16?10FN34FN3?4?50?103?3?????110.5MPa

A3?d32??242?10?6 可见，最大正应力发生在AB段内，其值为 ?max?176.8MPa

三、斜截面上的应力

设一等直杆受到轴向拉力F的作用，其横截面的面积为A，要求任意斜截面m?m上的应力。设该斜截面的外法线n与x轴的夹角为?，图2－7a所示。采用截面法可求得m?m截面上的内力为 FN??F

如图2－7b所示。仿照证明横截面上应力均匀分布的方法，也可得出斜截面上应力均匀分布的结论。若以A?表示斜截面的面积，f?表示其上的应力，则有 f??因A??A/cos?，故

FN?F ?A?A?Fcos???cos? A式中的??F/A，即横截面上的正应力。将应力f?分解成垂直于斜截面的正应力??和相切于斜截面的

f?=

剪应力??，如图2－7c所示。应力的符号规定为：正应力符号规定如前所述；剪应力对截面内侧任意点的矩为顺时针转向时规定为正，反之为负。?的符号规定：由x轴转到外法线n为逆时针转向时，规定为正，反之为负。按上述符号规定，图2—7c中??、??和?皆为正。由图2－7c可知

???f?cos???cos2? ????f?sin??sina2?2面，??达到最大值，其值为

? (2—2)

从上式看出，??和??均随?角度而改变。当??0时，斜截面m?m即为垂直于杆轴线的横截

?max??

当??45时，??达到最大值，其值为

0(a)?max??2

(b)

这就是说：轴向拉(压)杆的最大正应力发生在横截面上，最大剪应力发生在与轴线成45角的斜截面上。

o(c)

2.3材料在拉抻时的力学性质

图2-7