2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第7章 不 等 式 32

【课时训练】第32节 一元二次不等式的解法

一、选择题

1．(2018济南一中检测)若一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集

?11?

是?－2，3?，则a＋b的值是( ) ??

A．10 C．14 【答案】D

B．－10 D．－14

?11?【解析】因为一元二次不等式ax＋bx＋2＞0的解集是?－2，3?，

??

2

11

所以－2，3是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，

11?a－?42b＋2＝0，则?11??9a＋3b＋2＝0，

解得a＝－12，b＝－2，则a＋b＝－14.

2．(2018山西太原模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－2) C．(－6，＋∞) 【答案】A

【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1,4)内有解，所以a＜x2－4x－2在区间(1,4)内有解，又函数y＝x2－4x－2在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，当x＝1时，y＝－5当x＝4时，y＝－2，－5<－2，所以a＜－2，故选A.

3．(2018内蒙古呼和浩特模拟)若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为( )

A．(－3,1)

B．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C．?

B．(－2，＋∞) D．(－∞，－6)

D．(0,1) 【答案】B

【解析】x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，所以Δ＝4a2

－4a＜0，所以0＜a＜1，所以函数y＝ax是减函数，由at2＋2t－3＜1可得t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1，故选B.

4．(2018福建闽侯模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有( )

A．m≤－3 C．－3≤m＜0 【答案】A

【解析】∵x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x＝1时f(x)取到最小值为－3，

∴实数m应满足m≤－3，故选A.

5．(2018长春质检)若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，ax2＋bx－2)，则关于x的不等式＞0的解集为( )

x－1

A．(－2,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2) C．(－∞，－2)∪(0,1) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 【答案】B

【解析】关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，故aax2＋bxax2－2axbb

＜0，x＜a，∴a＝－2，b＝－2a，∴＝＞0，由于a

x－1x－1x2－2x

＜0，∴＜0，解得x＜0或1＜x＜2，故选B.

x－1

2??－x＋2x，x≥0，

6．(2019郑州质量预测)已知函数f(x)＝?2若关

?x－2x，x＜0.?

B．m≥－3 D．m≥－4

于x的不等式[f(x)]＋af(x)－b＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是( )

A．2 C．5 【答案】D

【解析】做出函数f(x)的图象如图中实线部分所示，

B．3 D．8

22

－a－a2＋4b2－a＋a2＋4b2由[f(x)]＋af(x)－b＜0得＜f(x)＜.22

2

2

若b≠0，则f(x)＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b＝0，所以－a＜f(x)＜0，且整数解x只能是3，当2＜x＜4时，－8＜f(x)＜0，所以－8≤－a＜－3，即a的最大值为8.故选D.

7．(2018河南南阳模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为( )

A．6 C．9 【答案】C

【解析】由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝0只有一个根，即Δ＝a2－

2

a2a

4b＝0，则b＝4.不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，即x2＋ax＋4＜2a

c的解集为(m，m＋6)，则方程x2＋ax＋4－c＝0的两个根为m，m＋

B．7 D．10

6.∴两根之差|m＋6－m|＝?a???＝6，解得c＝9，故选C. －ca－44??22 8．(2018安徽五校联考)在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是( )

A．(－3,5) C．[－3,5] 【答案】D

【解析】关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0可化为(x－1)(x－a)＜0.当a＝1时，不等式的解集为?；当a＞1时，不等式的解集为1＜x＜a；当a＜1时，不等式的解集为a＜x＜1.要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a的取值范围是[－2,4]，故选D.

二、填空题

9．(2018全国名校大联考联考)不等式x2－2ax－3a2＜0(a＞0)的解集为________．

【答案】{x|－a＜x＜3a}

【解析】∵x2－2ax－3a2＜0?(x－3a)·(x＋a)＜0，a＞0，∴－a＜3a，则不等式的解集为{x|－a＜x＜3a}．

10．(2018河南豫北豫南名校联考)不等式x2－3|x|＋2＞0的解集是________．

【答案】(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)

【解析】由题意可知原不等式可转化为|x|2－3|x|＋2＞0，解得|x|＜1或|x|＞2，所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．

??1，x≥2，

11．(2018湖北武汉武昌调研)已知f(x)＝?则不等式

?－1，x＜2，?

B．(－2,4) D．[－2,4]

x2·f(x)＋x－2≤0的解集是________．

【答案】{x|x＜2}

【解析】当x≥2时，原不等式可化为x2＋x－2≤0，解得－2≤x≤1，此时x不存在；当x＜2时，原不等式可化为－x2＋x－2≤0，