05第五章 机械能

思考：写出重力功率的瞬时表达式，何时重力的瞬时功率最大？

例3．一个小孩站在船头，按图所示的两种情况用同样大小的力拉绳，若经过相同的时间t(船未碰撞)，小孩所做的功分别为W1、W2，在t时间内小孩拉绳的平均功率分别为P1、P2，则( )

A．W1>W2，P1=P2 B．W1=W2，P1=P2 C．W1

解本题有三种思路：①功能法，②冲量法，③功的定义式 4．机车以恒定功率起动和匀加速起动的区别：

（1）以恒定功率起动的过程是：

机车以恒定的功率起动后，若运动过程中所受阻力f不变，由于牵引力F?F?fmP/v?fmPmvfmPv，随v增大，F减小。根据牛顿第

二定律a????，当v增大，a减小，其运动是加速度减小的加速运动。直至F?f时，a?0，速度达到最大值vmax?Pf，此后速度不再增大，做匀速直线运动。

这一起动过程的v-t关系如图所示：

（2）匀加速起动的运动过程是： 由a?F?fm知，在这种情况下，发动机牵引力F恒定，车做匀加速直线运动，再由P?F?v知道，F

一定，发动机实际输出功率P随v的增大而增大，当p增大到额定功率P额后不再增大，发动机保持额定功率不变，v继续增大，牵引力F减小，直到F?f时，a＝0，车速达到最大值vmax?在P增至P额之前，车做匀加速直线运动，其持续时间为： t0?v0a?P额/Fa?P额F?a?P额(ma?f)aP额f，此后匀速直线运动。

这个v0必定小于vm，它是车的功率增大到P额之时的瞬时速度)。 这一起动过程的v－t关系如下图所示。

例3．额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶的最大速度是20m/s，汽车的质量是2t，如果汽车从静止

2

开始作匀加速直线运动，加速度大小是2m/s，运动过程中阻力不变。求：

(1) 汽车受到的阻力多大？ (2) 分别求3s末、6s末汽车的瞬时功率多大？

例4．某司机为了确定他汽车上货物的质量，采用了这样的方法：让汽车以额定功率P由静止起动，沿着平直公路运行到最大速度时，司机从速度表上最大速度v，根据他平日积累总结的规律，汽车运动阻力与其总重力成正比，且比例系数为k，若汽车自身质量为M，则车上所装货物的质量是_____________。

(2004年上海，7)光滑水平面上有一边长为L的正方形区域处在场强为E的匀强电场中，电场方向与正方形一边平行．一质量为m.带电荷量为4的小球由某一边的中点以垂直于该边的水平初速度二。进人该正方形区域．当小球再次运动到该正方形区域的边缘时，具有的动能可能为·········．．．??（）

解析：考虑多种情况，如图6-2-1(a)：若二与E的方向在一条直线上，且电场力做正功，小球能到达对边的边缘，则如图

若。与E的方向在一条直线上，且电场力做负功，小球能到达对边的边缘，则，故A对；如图6一2一1(c）：若。与E方向在一条直线，电场力做负功，并使小球沿原路返回到达初始位置，则小球受电场力做功为零，动能为合MVO 2，故C也有可能；如图6一2一1(d)：若。与E的方向垂直，小球进人电场后同时发生偏转，则到达对边的边缘或邻边的边缘时小球的动能为，故B可能，所以选ABC.

瞬时功率与平均功率

第二节 动能 动能定理

一、动能 1． 定义：物体由于__________而具有的能量叫做动能。

2． 3．

计算公式：Ek?12mv，单位：J。

2说明： (1) 动能只有_______，没有________，是_______。计算公式中的v是物体具有的_______。请看例1。 (2) 动能是_________量，动能的变化(增量)是________量。(选填“过程”或“状态”) (3) 动能具有相对性，其值与参照系的选取有关。一般取地面为参照系。

例1．位于我国新疆境内的塔克玛干沙漠，气候干燥，风力强劲，是利用风力发电的绝世佳境。设该地强风

的风速v=20m/s，空气密度??1.3kg/m3，如果把通过横截面积为S=20m2的风的动能全部转化为电能，则电功率的大小为多少？

例2．一导弹离地面高度为h水平飞行。某一时刻，导弹的速度为v，突然爆炸成质量相同的A、B两块，A、B同时落到地面，两落地点相距4v2hg，两落地点与爆炸前导弹的速度v在同一竖直平面内。不计空气阻力。

已知爆炸后瞬间，A的动量大小为PA，动能为EkA，B的动量大小为PB，动能EkB，则PA：PB=______，EkA：EkB=________。 二、动能定理

1．内容：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。

2．公式：W总?WF1?WF2???WFn??Ek?3．对动能定理的理解：

（1）W总是所有力做的总功，等于所有外力对物体做功的代数和，正功代入正值，负功代入负值。等式右边是动能的变化(变化量)，指末动能与初动能之差。

（2）动能定理适用于单个物体，这里我们所说的外力，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他的力。不论物体做什么形式的运动(直线还是曲线)，受力如何(变力还是恒力，同时存在还是分段存在)，动能定理总是适用的。只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可，这些正是动能定理解题的优越性所在。动能定理中涉及的物理量有F、s、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，都可以考虑使用动能定理。

（3）做功的过程是能量转化的过程，动能定理表达式中的“=”的意义是一种因果联系的数值上相等的符号，它并不意味着“功就是动能增量”，也不意味着“功能转变成动能”，而意味着“合外力的功是物体动能变化的原因”。

（4）动能定理中的位移s和速度v必须是相对于同一个参照物，一般以地面为参照物。

例1．(1999年广东省高考)试在下列简化情况下，从牛顿出发，导出动能定理的表达式：物体为质点，作用力是恒力，运动轨迹是直线。要求写出每个符号及所得结果中每项的意义。

解：用m表示物体质量，F表示作用于物体的恒定合力，在此力作用下，物体由位置a沿直线匀加速移动到b点，设位移为s，物体在a点时的速度为v1，在b点时的速度为v2。该过程，由牛顿第二定律得：

F=ma ①

由功的公式得 W=Fs ②

由运动学公式得 vt?v0?2as ③

式中W为作用于物体的合力所做的功，mv0为物体的初动能，mvt为物体的末动能，所得结果表示

221212mvt?212mv0

22212物体所受合外力做的功等于物体动能的变化量(增量)。

点拔：本题考查了动能定理的论证。对推理论证能力的考查，应是今后命题的热点之一，请给予足够重视。

例2．如图所示，质量为m=1kg的木块静止在高h=1.2m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数??0.2，用水平推力F=20N，使木块产生位移s1=3m时撤去，木块又滑行s2=1m时飞出平台，求木块落地时速度的大小？

解析：取木块为研究对象。其运动分三个阶段，先匀加速前进s1，后匀减速前进s2，再做平抛运动。运动过程、运动状态复杂，若用牛顿定律来解，计算麻烦。而物体在各阶段受力情况明确，各力做功明确，宜用动能定理求解。

设木块落地时的速度为v，整个过程各力做功情况分别为WF?F?s1，摩擦力做功Wf???mg(s1?s2)，重力做功WG?mgh，由动能定理得：

Fs1??mg(s1?s2)?mgh?12mv2?0 解得：v?82m/s

点拔：运用动能定理解题，不必考虑物体在运动过程中的细节，只考虑整个过程外力做功的代数和及物体始末状态的速度，使解题过程大为简化。但若研究对象在运动过程中受力情况，各力做功情况不明，则有能用动能定理来解。所以在应用中要认真分析物理过程的构成和特点，认真分析过程中研究对象的受力情况和各力做功情况，善于从整体上把握，针对整个过程运用动能定理求解。

4．应用动能定理解题的基本步骤： ① 选取研究对象，分析对象的运动过程。

② 分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力？每个力是否做功，做正功还是做负功？做多少功？

然后求各个力做功的代数和。

③ 明确物体在过程的始末状态的动能Ek0和Ekt。 ④ 列出动能定理的方程W总?

1．灵活选取过程是重点(分过程和整个过程)

例1．如图6所示，斜面倾角为?，质量为m的滑块距挡板P的距离为s0，滑块以初速度v0沿斜面下滑。滑块与斜面间的动摩擦因数为?，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面的下滑力。若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块总共经过的路程有多长。

12mvt?212mv0，及其他必要辅助方程，进行求解。

2

解析：滑块先沿斜面向下做加速运动，与挡板碰后沿斜面向上做减速运动至末速度为零，再沿斜面向下做加速运动与挡板碰后再沿斜面向上做减速运动?，每一次至斜面的最大高度都不断减小，经过很多次循环最终停止在挡板处。如果采用牛顿运动定律求解，对每一运动阶段将列出一个方程，最终利用等比数列求和解出，过程相