三次函数的性质-总结练习

图7 切线条数

① 过区域 I、III 内的点作y=f(x)的切线，有且仅有三条；

② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有一条；

③ 过切线l或函数f(x)图象（除去对称中心）上的点作y=f(x)的切线，有且仅有两条．

性质四的证明 由性质二，不妨设f(x)=x3+mx，坐标平面内一点P(a,b)． 三次函数图象上x=t处的切线方程为

y=(3t2+m)(x?t)+t3+mt,

即

y=(3t2+m)x?3t3,

切线过点P(a,b)，即

b=?3t3+3at2+ma.

而三次函数对称中心处的切线方程为

y=mx,

于是考虑直线y=b?ma与函数

y=?3t3+3at2

的图象公共点个数．

当a=0时，无论b取何值，均为1个公共点；

当a>0时，b?ma>0时为1个公共点，b?ma=0时为2个公共点，b?ma<0时为3个公共点；

当a<0时，b?ma>0时为3个公共点，b?ma=0时为2个公共点，b?ma<0时为1个公共点．

综上，性质四得证．

在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：

已知函数f(x)=x3?x．

（1）求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程；

（2）设a>0，如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：?a

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例4 设函数f(x)=13x3?a2x2+bx+c，其中a>0．曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1． （1）确定b,c的值；

（2）设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2)．证明：当

x1≠x2时，f′(x1)≠f′(x2)；

（3）若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线，求a的取值范围． 解 （1）f(x)的导函数为

f′(x)=x2?ax+b,

于是该函数在x=0处的切线方程为

y=bx+c,

因此

b=0,c=1.

（2）函数f(x)在x=t处的切线方程为

y=(t2?at)(x?t)+13t3?a2t2+1,

当切线过点(0,2)时可得

23t3?a2t2+1=0,

于是x1,x2是该方程的两个不等实根． 考虑

f′(x1)?f′(x2)=(x21?ax1)?(x22?ax2)=(x1?x2)?(x1+x2?a),

而

???????23x31?a2x21+1=0,23x32?a2x22+1=0,

两式相减并约去x1?x2，得

x21+x1x2+x22=34a2,

而

x21+x1x2+x22=(x1+x2)2?x1x2>(x1+x2)2?14(x1+x2)2=34(x1+x2)2,

于是

x1+x2≠a,

进而可得

f′(x1)≠f′(x2).

（3）函数f(x)的对称中心为(a2,?a312+1)，于是在对称中心处的切线方程为 y=?a24(x?a2)?a312+1,

根据性质四的结论 ①，可得

1<2

解得

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a>23√3,

即a的取值范围是(23√3,+∞)．

注 此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）．

练习题

练习1、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f′(?1)=0．

（1）试用含a的代数式表示b； （2）求f(x)的单调区间； （3）令a=?1，设函数f(x)在x1,x（2x1

练习2、已知f(x)=x3+bx2+cx+d在(?∞,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为从小到大依次为α、2、β．求|α?β|的取值范围． 练习3、如图8，记原点为点P1(x1,y1)，由点P1向三次函数y=x3?3ax2+bx（a≠0）的图象（记为曲线C）引切线，切于不同于点P1的点P2(x2,y2)，再由点P2引此曲线C的切线，切于不同于点P2的点P3(x3,y3)．如此继续作下去，得到点列{Pn(xn,yn)}．试回答下列问题：

图8

（1）求数列{xn}的递推公式与初始值；

（2）求limn→+∞xn，并指出点列{Pn}的极限位置在何处？

练习4、已知f(x)=x3?x，过点(x0,y0)作f(x)图象的切线，如果可以作出三条切线，当x0∈(0,1)时，求点(x0,y0)所在的区域面积． 练习5、已知函数f(x)=2x3?3x．

（1）求f(x)在区间[?2,1]上的最大值；

（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；

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（3）问过点A(?1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？（只需写出结论）

练习6、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f′(?1)=0．

（1）试用含a的代数式表示b，并求f(x)的单调区间； （2）令a=?1．设函数f(x)在x1,x（2x1

① 若对任意的m∈(t,x2]，线段MP与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，试确定t的最小值；

② 若存在点Q(n,f(n))，x1?n

练习题的参考答案

练习1、（1）f(x)的导函数为

f′(x)=x2+2ax+b,

于是所求的代数表达式为

b=2a?1.

（2）在（1）的基础上，有

f′(x)=(x+1)?(x+2a?1),

于是

当a<1时，函数f(x)的单调递增区间是(?∞,?1)和(1?2a,+∞)，单调递减区间为(?1,1?2a)；

当a=1时，函数f(x)的单调递增区间是R；

当a>1时，函数f(x)的单调递增区间是(?∞1?2a)和(?1,+∞)，单调递减区间是(1?2a,?1)． （3）此时

f(x)=13x3?x2?3x,

而

f′(x)=x2?2x?3,

于是M(?1,53)，N(3,?9)．根据性质二，该公共点为三次函数f(x)图象的对称中心(1,?113)．

注 本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）． 练习2、根据题意，x=0为f(x)的导函数

f′(x)=3x2+2bx+c

的零点，于是c=0． 又f(2)=0，于是

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