三次函数的性质-总结练习

三次函数的性质

三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．

性质一 单调性

以a>0为例，如图1，记Δ=b2?3ac为三次函数图象的判别式，则

图1 用判别式判断函数图象

当Δ?0时，f(x)为R上的单调递增函数；

当Δ>0时，f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值． 性质一的证明 f(x)的导函数为

f′(x)=3ax3+2bx+c,

其判别式为4(b2?3ac)，进而易得结论．

例1 设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点A,B,C，且|AB|=|BC|=5√，求直线l的方程．

解 由|AB|=|BC|可知B为三次函数的对称中心，由性质一可得B(0,1)，进而不难求得直线l的方程y=2x+1．

性质二 对称性

如图2，f(x)的图象关于点P(?b3a,f(?b3a))对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于P对称）．

图2 图象的对称性

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反之，若三次函数的对称中心为(m,n)，则其解析式可以设为

f(x)=α?(x?m)3+β?(x?m)+n,

其中α≠0．

性质二的证明 由于

f(x)=a(x+b3a)3+(c?b23a)(x+b3a)?bc3a+2b327a2+d,

即

f(x)=(x+b3a)3+(c?b23a)(x+b3a)+f(?b3a),

于是性质二得证．

例2 设函数f(x)=x(x?1)(x?a)，a>1．

（1）求导数f′(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1，x2； （2）若不等式f(x1)+f(x2)?0成立，求a的取值范围． （1）解 f(x)的导函数

f′(x)=(x?1)(x?a)+x(x?a)+x(x?1)=3x2?2(a+2)x+a,

而

f′(0)f′(1)f′(a)=a>0,=1?a<0,=a(a?1)>0,

于是f′(x)有两个变号零点，从而f(x)有两个不同的极值点．

（2）解 根据性质二，三次函数的对称中心(a+13,f(a+13))是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是

f(x1)+f(x2)=2f(a+13)?0,

即

2?a+13?a?23??2a+13?0,

结合a>1，可得a的取值范围是[2,+∞)．

注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第20题．

性质三 切割线性质

如图3，设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT（P点不为切点），A、B、T均在f(x)的图象上，则T点的横坐标平分A、B点的横坐标．

图3 切割线性质

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推论1 设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的两条切线PM、PN，切点分别为M、P，如图．则M点的横坐标平分P、N点的横坐标，如图4．

图4 切割线性质推论一

推论2 设f(x)的极大值为M，方程f(x)=M的两根为x1、x2（x1

图5 切割线性质推论二

性质三的证明 设f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0），直线PT:y=k0x+m0，直线

PAB:y=kx+m，则分别将直线PT与直线PAB的方程与三次函数的解析式联立，得

ax3+bx2+(c?k0)x+d?m0=0,ax3+bx2+(c?k)x+d?m=0,

于是根据三次方程的韦达定理可得

2xT+xP=xA+xB+xP,

即

xT=xA+xB2,

于是命题得证．

推论1和推论2的证明留给读者．

例3 如图6，记三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象为C，若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3))，线段P1P2、P2P3与曲线

C所围成的封闭图形的面积分别记为S1、S2．求证：S1S2是定值．

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图6

解 由性质二，任意三次函数f(x)都可以通过平移变化变成

g(x)=px3+qx,

然后可以作伸缩变换变成

h(x)=x3+rx,

而无论平移还是伸缩，题中的S1S2均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数h(x)=x3+rx成立即可．

根据题意，联立函数h(x)=x3+rx与函数h(x)在P1处的切线方程得

(x?x1)2?(x?x2)=0,

于是

2x1+x2=0,

即

x2=?2x1.

又由性质三的推论1，可得

2x1=x2+x3,

即

x3=4x1.

于是，线段P1P2与曲线C所围成的封闭图形的面积

S1=∣∣∣∫x2x1(x?x1)2?(x?x2)dx∣∣∣=∣∣∣∫?2x1x1(x3?3x21x+2x31)dx∣∣∣=∣

∣∣(14x4?32x21x2+2x31x)∣∣∣?2x1x1∣∣∣=274x41,

类似的，线段P2P3与曲线C所围成图形的面积

S2=274x42,

于是所求的面积之比为

S1S2=(x1x2)4=116.

注 此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对f(x)=x3?x成立）．

性质四 切线条数

如图7，过f(x)的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域，有以下结论：

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