[步步高]2014届高三数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值教案 理 新人教A版

＝

a＋1a＋1a＋1x1－x2－＝， x2＋1x1＋1x2＋1x1＋1又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数， 所以f(x1)－f(x2)>0，由于x1

探究提高 已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式 恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的 任意子集上也是单调的．

(1)若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则a的取值范围为

____________． (2)函数y＝

x－5

在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 ( )

x－a－2

A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3 1??答案 (1)?－∞，? (2)C 2??

1

解析 (1)因为函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，所以2a－1<0，解得a<，

21??所以a的取值范围是?－∞，?. 2??(2)y＝x－5a－3

＝1＋，

x－a－2x－a＋2由函数在(－1，＋∞)上单调递增， 有{a－3<0�黙＋2≤－1 ，解得a≤－3. 题型三 利用函数的单调性求最值

例3 已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，

f(1)

2＝－. 3

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

思维启迪：问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．

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(1)证明 方法一 ∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0， 得f(0)＝0.

再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)． 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，

f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．

又∵当x>0时，f(x)<0，

而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)x2，

则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)． 又∵当x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0，即f(x1)

∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)． 而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2. ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

探究提高 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质 和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或

fx1与fx21的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等；利用函数单调性可以求函数最值．

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f??＝f(x1)－f(x2)，且当

xx1x2

?x1??2?

x>1时，

f(x)<0.

(1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． 解 (1)令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.

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(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1， 由于当x>1时，f(x)<0，所以f??<0， 即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)． 由f??＝f(x1)－f(x2)得，

xx1x2

?x1??x2?

?x1??2?

f??＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. 3

∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.

忽视函数的定义域致误

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典例：(10分)求函数y＝log(x－3x)的单调区间．

3

易错分析 忽视函数的定义域，认为x的范围是全体实数，导致错误． 规范解答

解 设t＝x－3x，由t>0，得x<0或x>3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．

[2分]

3

函数t的对称轴为直线x＝，故t在(－∞，0)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．

2

[6分]

112

而函数y＝logt为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y＝log(x－3x)

33的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．[10分]

温馨提醒 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，容易忽视定义域，导致错误． 2.函数的单调性与最值

典例：(12分)(2012·太原模拟)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，

并且x>0时，恒有f(x)>1.

7

2

?9?

??

(1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a＋a－5)<2.

审题视角 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与

0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)

(1)证明 设x10，

∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.[2分]

2

f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1)

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，[8分]

f(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a＋a－5)<2＝f(1)，[10分] ∵f(x)在R上为增函数，∴a＋a－5<1?－3

解函数不等式的问题一般步骤：

第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：将函数不等式转化为f(M)

第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”， 转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：解不等式或不等式组确定解集；

第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．

温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构

造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不

等式化为f(M)

2

2

f(x)所在的单调区间的约束.

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