高中数学知识拓展

被减数相同，或前一项的被减数与后一项的减数相同，则相加时，中间项全部抵消为零，即可求出前n项的和

（4）递推求和法：利用二项式定理及前n个正整数的较低次幂的和的公式来求数列前n项的和

在求数列的前n项和的时候，应熟记以下公式： ∑i=n(n+1)/2

∑i^2=n(n+1)(2n+1)/6 ∑i^3=[n(n+1)/2]^2

C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n

C(m,m)+C(m+1,m)+...+C(n,m)=C(n+1,m+1) (n≥m,n,m∈N*)

递归数列的基础知识

（1）数列{an}的相邻若干项的关系成为递推关系，由递推关系和初始值所确定的数列叫做递归数列

等差数列和等比数列可以看作特殊的递推数列： an=a(n-1)+d(n≥2),an=a(n-1)?q(n≥2)

对于一个递归数列，如果我们知道了它的通项，那么就可以从整体上认识和把握该数列，因此，求递归数列的通项公式是递归数列的基本问题。

（2）由递推关系求通项公式 由于递归数列的种类繁多，多数情况下没有求解通项公式的现成方法。求一般递归数列的通项公式，基本思想仍是通过变形、代换等手段把问题转化为求等差、等比数列的通项公式，或者通过试验猜想出一个通项公式，然后证明其正确性。由递推关系求通项公式的常用方法有：累加法，迭代法，代换法，代入法，不动点法，特征方程法等。

数学归纳法

（1）数学归纳法的基本形式

第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果①当n=n0(n0∈N*)时，P(n)成立；②假设n=k(k≥n0,k∈N*)成立，由此推得n=k+1时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n≥n0时，P(n)成立。

第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果①当n=n0(n0∈N*)时，P(n)成立；②假设n≤k(k≥n0,k∈N*)成立，由此推得n=k+1时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n≤n0时，P(n)成立。

跳跃数学归纳法：①当n=1,2,3,...,l时，P(1),P(2),...,P(l)成立。②假设n=k时，P(n)成立，由此推得n=k+l时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n≥1时，P(n)成立。

反向数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果①P(n)对无限多个正整数n成立；②假设n=k时，命题P(n)成立，则当n=k-l时，命题P(n)也成立，那么根据①②对一切正整数n≥1时，P(n)成立。

（2）应用数学归纳法的技巧

起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数n都成立，但命题本身对n=0也成立，而且验证起来比验证n=1时容易，因此用验证n=0成立代替验证n=1；同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以。因而为了便于起步，有意前移起点。

起点增多：有些命题在由n=k向n=k+1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点。

加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多。

选择合适的假设方式：归纳假设不一定要拘泥于“假设n=k时命题成立”，而需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用。

变换命题：有些命题在用数学归纳法证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题（即将命题一般化或加强），才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明。

（3）归纳-猜想-证明

在数学中，通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种由个别事实得出一般性结论的不严格的推理方法称为不完全归纳法。不完全归纳法是发现规律、解决问题的极好方法。但不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明。我们经常采用数学归纳法来证明这种猜想。

※※第三讲 数列与数学归纳法※※结束

※※第四讲 不等式※※ 常见不等式的解法 （1）高次不等式

设f(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an),其中a1

当n为偶数时，f(x)>0的解为(an,+∞)∪(a(n-2),a(n-1))∪(a(n-4),a(n-3))∪...∪(a2,a3)∪(-∞,a1),而f(x)<0的解为(a(n-1),an)∪(a(n-3),a(n-2))∪...∪(a1,a2)

当n为奇数时，f(x)>0的解为(an,+∞)∪(a(n-2),a(n-1))∪(a(n-4),a(n-3))∪...∪(a2,a1),而f(x)<0的解为(a(n-1),an)∪(a(n-3),a(n-2))∪...∪(-∞,a1)

（2）分式不等式

f(x)/g(x)>0<=>f(x)g(x)>0

f(x)/g(x)≤0<=>f(x)g(x)≤0,g(x)≠0

（3）无理不等式

√f(x)≥g(x)=f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)≥g(x)^2或f(x)≥0,g(x)≤0 √f(x)f(x)≥0,g(x)>0,f(x)

（4）绝对值不等式

|f(x)|≤g(x)<=>-g(x)≤f(x)≤g(x) |f(x)|>g(x)<=>f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)

（5）指数、对数不等式

a>1时，a^f(x)>a^g(x)<=>f(x)>g(x) 0a^g(x)<=>f(x)1时，logaf(x)>logag(x)<=>f(x)>g(x)>0 0logag(x)<=>0

几个重要的著名不等式 （1）平均值不等式 设a1,a2,...,an是n个正实数，记A=(a1+a2+...+an)/n,G=(a1a2...an)^(1/n),H=n/(1/a1+1/a2+...+1/an),Dr=[(a1^r+a2^r+...+an^r)/n]^(1/r) (r≠0),(a1a2...an)^(1/n) (r=0)

它们分别称为这n个正数的算术平均、几何平均、调和平均及r次幂平均，则有下列平均值不等式成立：

(i)H≤G≤A，等号成立当且仅当a1=a2=...=an

(ii)当s

（2）柯西(Cauchy)不等式

设a1,a2,...,an及b1,b2,...,bn为实数，则(∑aibi)^2≤∑ai^2∑bi^2，等号成立当且仅当存在常数λ，μ（不全为零）使λai=μbi(i=1,2,...,n)。当ai,bi都不为零时，等号成立的充要条件可写为a1/b1=a2/b2=...=an/bn

（3）赫尔德(Holder)不等式

设a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn为正实数，p,q为正实数且1/p+1/q=1，则得∑aibi≤(∑ai^p)^(1/p)(∑bi^q)^(1/q) ①，等号成立当且仅当a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=...=an^p/bn^q

在①中令xi=abi,yi=bi^q(i=1,2,...,n),p=α+1(α≥0)，即α=p-1=p/q，则①可等价地写为：当α≥0时，有∑[xi^(α+1)/yi^α]≥(∑xi)^(α+1)/(∑yi)^α ② 并且②中等号成立当且仅当x1/y1=x2/y2=...=xn/yn

不等式①叫做赫尔德不等式，它的等价形式②我们称为权方和不等式

（4）排序不等式

给定实数a1≤a2≤...≤an和b1≤b2≤...≤bn，设i1,i2,...,in是1,2,...,n的任意排列，则a1bn+a2b(n-1)+...+anb1≤a1bi1+a2bi2+...+anbin≤a1b2+a2b2+...+anbn,等号成立当且仅当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn

（5）切比雪夫不等式

若a1≤a2≤...≤an,b1≤b2≤...≤bn，则∑aibi≥1/n?(∑ai)(∑bi)；若a1≤a2≤...≤an,b1≤b2≤...≤bn，则∑aibi≤1/n?(∑ai)(∑bi)，等号成立当且仅当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn

（6）伯努力(Bernoulli)不等式

设x>-1,则当0<α<1时,有(1+x)^α≤1+αx；当α<0或α>1时，有(1+x)^α≥1+αx；等号称里当且仅当x=0

（7）凸函数不等式

(i)定义：设f(x)是定义在区间I上的函数，故对任意x1,x2∈I(x1≠x2)及任意实数α(0<α<1)，有f(αx1+(1-α)x2)<(>)α1f(x1)+α2f(x2)，则成f(x)为区间I上的严格下（上）凸函数

(ii)凸函数的判定：如果对任意的x∈I，有f''(x)>0(<0)，则f(x)是区间I上的下（上）凸函数 (iii)琴生(Jensen)不等式：设f(x)为区间I上的严格下（上）凸函数，则对任意x1,x2,...,xn∈I以及任意正实数α1,α2,...,αn(α1+α2+...+αn=1)有f(∑aixi)≤(≥)∑aif(xi)，等号成立当且仅当x1=x2=...=xn

※※第四讲 不等式※※结束

※※第五讲 三角函数※※ 三角函数的性质 （1）有界性

对任意角α，都有|sinα|≤1,|cosα|≤1，这一性质称为正、余弦函数的有界性。竞赛解题中还常常用到1±sinα≥0,|Asinα+Bcosα|≤√(A^2+B^2)等式子

（2）奇偶性与对称性

正弦函数、正切函数和余切函数都是奇函数，从而它们的图像关于原点对称，并且y=sinx的图像还关于x=kπ+π/2,k∈Z对称

（3）单调性

利用三角函数的图像可以写出三角函数的单调区间。例如，y=sinx在区间[2kπ-π/2,2kπ+π/2]上单调递增，而在区间[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)上单调递减；y=cosx在[2kπ+π,2kπ+2π]上单调递增，而在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减 三角函数的单调性是解决三角不等式、求三角函数最值的重要依据

（4）周期性

三角函数都是周期函数，并且都有最小正周期。对于一般表达式，y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/|ω|；y=Atan(ωx+φ),y=Acot(ωx+φ)的最小正周期为π/|ω|

（5）其他性质

若0

这个性质揭示了锐角x的弧度数与sinx,tanx之间的关系，利用它可以解决一些混合不等式问题

y=sinx/x在(0,π/2)上是减函数； y=tanx/x在(0,π/2)上是增函数；

三角函数在其定义域内的不同的区间上呈现上凸或下凸的性质

三角变换

三角变换（或三角恒等变形）是重要的代表式变形，变形过程中，不仅需要熟练地掌握各种三角公式的应用条件和把握应用时机，还需要有一种驾驶和处理复杂三角式的化归意识与能力。

常见的三角变换包括：角变换、函数名称变换、常数变换、公式变换及幂变换等等。

反三角函数与三角方程