高中数学知识拓展

高中数学知识拓展

高斯函数，又称为取整函数，常用的性质有： x-1<[x]≤x<[x]+1 [x+n]=n+[x] {n+x}={x}(n∈Z)

[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1等

与函数有关的几个重要结论

结论1 设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数

（1）若f(x)在R上为单调函数，则|f(x1)|<|f(x2)|<=>|x1|<|x2| （2）若f(x)在R上为增函数，则|f(x1)||x1||x1|<-x2

结论2 设函数y=f(x)是定义在R上的偶函数

（1）若f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(x1)|x1|<|x2| （2）若f(x)在[0,+∞)上为减函数，则f(x1)|x1|>|x2|

奇、偶函数的概念可以推广： 定义1 对于函数f(x)(x∈R)，若存在常数a，使得其函数定义域内任意一个x,都有f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)

则称f(x)为广义（1）型偶函数。显然，当a=0时，f(x)为一般的偶函数。

对于函数f(x)(x∈R)，若存在常数a，使得其函数定义域内任意一个x,都有f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)

则称f(x)为广义（1）型奇函数。显然，当a=0时，f(x)为一般的奇函数。

定义2 对于函数f(x)(x∈R)，若存在常数a,b，使得其函数定义域内任意一个x，都有f(a-x)=f(b+x)

则称f(x)为广义（2）型偶函数。显然，当a=b时，f(x)为广义（1）型偶函数；当a=b=0时，f(x)为一般的偶函数。

对于函数f(x)(x∈R)，若存在常数a,b，使得其函数定义域内任意一个x，都有f(a-x)=-f(b+x) 则称f(x)为广义（2）型奇函数。显然，当a=b时，f(x)为广义（1）型奇函数；当a=b=0时，f(x)为一般的奇函数 。

定义3 对于函数f(x)(x∈R)，若存在常数a,b,m,n(m>0,n>0)，使得其定义域内任意一个x，都有f(a-mx)=f(b+nx)

则称f(x)为广义（3）型偶函数。显然，当m=n=1时，f(x)为广义（2）型偶函数；当a=b=0,且m=n时，f(x)为一般的偶函数。

对于函数f(x)(x∈R)，若存在常数a,b,m,n(m>0,n>0)，使得其定义域内任意一个x，都有f(a-mx)=-f(b+nx)

则称f(x)为广义（3）型奇函数。显然，当m=n=1时，f(x)为广义（2）型奇函数；当a=b=0,且m=n时，f(x)为一般的奇函数。

结论3 设f(x)为定义在R上的广义（2）型偶函数 （1）若f(x)在[(a+b)/2,+∞)上为增函数，则 f(x1)|x1-(a+b)/2|<|x2-(a+b)/2|

（2）若f(x)在[(a+b)/2,+∞)上为减函数，则 f(x1)|x1-(a+b)/2|>|x2-(a+b)/2|

结论4 设f(x)为定义在R上的广义（2）型奇函数 （1）若f(x)在R上为单调函数，则

|f(x1)|<|f(x2)|<=>|x1-(a+b)/2|<|x2-(a+b)/2| （2）若f(x)在R上为增函数，则 |f(x1)||x1-(a+b)/2||x1-(a+b)/2|<(a+b)/2-x2

结论5 设a,b是两个相异的实数，则

（1）当f(x)关于a,b均为广义（1）型偶函数时，f(x)为周期函数，且2|b-a|为其一个正周期 （2）当f(x)关于a,b均为广义（1）型奇函数时，f(x)为周期函数，且2|b-a|为其一个正周期 （1）当f(x)关于a,b，一个为广义（1）型奇函数，一个为广义（1）型偶函数时，f(x)为周期函数，且4|b-a|为其一个正周期

结论6 设f(x)为定义在R上的函数，对任意x∈R，恒有

（1）f(a-x)=f(b-x)(或f(a+x)=f(b+x))(a≠b)成立，则f(x)为周期函数，且|b-a|为其一正周期 （2）f(a+x)=-f(b+x)(或f(a-x)=-f(b-x))(a≠b)成立，则f(x)为周期函数，且2|b-a|为其一正周期 （3）f(x-a)+f(x+a)=f(x)(a≠0)成立，则f(x)为周期函数，且6|a|为其一正周期

结论7 对于实数ai,bi,mi,ni(n=1,2)，且m1m2=n1n2,m1(a2-b1)≠n1(a1-b2),若对于定义在R上的函数f(x)，且对于任意x∈R，有

(1)f(ai-mix)=f(bi+nxi)(i=1,2),则f(x)为周期函数，且|(a2-b1)+m2(b2-a1)/n2|为其一正周期 (2)f(ai-mix)=-f(bi+nxi)(i=1,2),则f(x)为周期函数，且|(a2-b1)+n1(b2-a1)/m1|为其一正周期 (3)f(a1-m1x)=f(b1+n1x),f(a2-m2x)=-f(b2+n2x),则f(x)为周期函数，且2|(a2-b1)+n1(b2-a1)/m1|为其一正周期

结论8 设T为非零常数，若对于函数定义域内的任意x，恒有f(x+T)=M[f(x)]，其中M(x)满足M[M(x)]=x，且M(x)≠x,则f(x)为周期函数，且2T为其一个周期。

以上结论3～8均由周期函数的定义即可推证

我们知道，对于奇函数，其图像关于原点（0，0）成中心对称；对于偶函数，其图像关于y轴（x=0）成轴对称。一般地，我们有

结论9 函数f(x)定义在R上，对于定义域内任意一实数x，都有 f(a+x)+f(b-x)=c

成立的充要条件是函数f(x)的图像关于点((a+b)/2,c/2)成中心对称。

结论10 函数f(x)定义在R上，对于定义域内任一实数x，都有 f(a+x)-f(b-x)=0

成立的充要条件是函数f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2成轴对称。

※※第一讲 函数 练习※※

1.求函数y=x+√(x^2-3x+2）的值域。[1,3/2)∪[2,+∞)

2.f(x)和g(x)的定义域都是R，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=1/(x^-x+1)，那么f(x)/g(x)的取值范围为？x>0时，f(x)/g(x)≥2；x<0时，f(x)/g(x)≤-2

3.（1）已知定义在实数集上的奇函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)=x，求f(15/2)的值。-1/2

（2）函数f(x)=(9^x-1)/3^(x+1)-√(1-x^2)/(|x+2|-2)+1，已知f(a)=√3，求f(-a)的值（|a|<1)。2-√3

4.f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x，都有f(x+3)≤f(x)+3,f(x+2)≥f(x)+2，若f(998)=1002，求f(2000)的值。2004

5.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)（。1）f(-1)=0,(2)对任意x∈R,x≤f(x)≤(x^2+1)/2，那么a=？b=？c=？1/4,1/2,1/4

6.若函数f(x)=-x^2/2+13/2在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]。[1,3]或[-2-√17,13/4]

7.已知1/3≤a≤1，若f(x)=ax^2-2x+1在[1,3]上最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)。（1）求g(a)的函数表达式 g(a)=a+1/a-2,a∈[1/3,1/2]或g(a)=9a+1/a-6,a∈(1/2,1]（2）判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值 [1/3,1/2]上单减，[1/2,1]上单增，g(a)min=1/2

8.对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)=ax^2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)。

（1）当a=1,b=-2时，求函数f(x)的不动点

（2）若对于任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围

（3）在（2）的条件下，若y=f(x)的图像上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A,B两点关于直线y=kx+1/(2a^2+1)对称，求b的最小值

9.函数f(x)定义在实数域上，且满足下列条件：对任何实数x，有f(2+x)=f(2-x)，且f(7+x)=f(7-x)。若x=0是方程f(x)=0的一个根，问方程f(x)=0在区间-1000≤x≤1000中至少应有几个根？

10.设函数f(x)对所有x>0有定义，且满足：（1）函数f(x)在(0,+∞)上严格递增；(2)对所有x>0均有f(x)>-1/x；（3）对所有x>0均有f(x)?f[f(x)+1/x]=1，求函数值f(1)。

11.已知实数x不是整数，且x+99/x=[x]+99/[x]，求x的值

12.求实数a的取值范围，使得对任意实数x与任意的a∈[0,π/2]恒有(x+3+2sinαcos

α)^2+(x+asinα+acosα)^2≤1/8

13.求函数f(x)=x(1-x)/(x+1)(x+2)(2x+1),x∈(0,1]的最大值。

14.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a,b∈R，满足f(ab)=af(b)+bf(a)。（1）求f(0),f(1)的值；（2）判断f(x)奇偶性，并证明；（3）f(2)=2,an=f[2^(-n)]/n (n∈N*)，求数列{an}的前n项和Sn。

15.设函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0。（1）求f(1/2),f(1/4)；（2）求证f(x)是周期函数；（3）记an=f(2n+1/2n)，求lim(n→∞)(lnan)。

16.实数a,b,c和正数λ使得f(x)=x^3+ax^2+bx+c有三个实数根x1,x2,x3，且满足（1）x2-x1=λ；（2）x3>(x1+x2)/2。求(2a^3+27c-9ab)/λ^3的最大值。

※※第一讲 函数※※ 结束

※※第二讲 方程（组）※※

在处理方程（组）问题中，常常应用到如下结论：

结论1 （韦达定理）若复系数一元n次方程anx^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a1x+a0=0(an≠0)的n个复数根是x1,x2,...,xn，则 x1+x2+...+xn=-a(n-1)/an

x1x2+...+x1xn+x2x3+...+x2xn+...+x(n-1)xn=(-1)^2?a(n-2)/an ...

x1x2...xn=(-1)^n?a0/an

结论2 设实系数一元二次方程为ax^2+bx+c=0(a≠0).若Δ=b^2-4ac<0，则方程无实根；若Δ=b^2-4ac=0，则方程有相同两实根；若Δ=b^2-4ac>0，则方程有两相异实根。

结论3 设函数f(x)是严格单调的，

（1）且x∈R,a,b为实常数，则方程f(x)=f(ax+b)与ax+b=x(a≠0)同解；

（2）且x∈R,a,b,c为实常数，则方程f(x)=f(ax^2+bx+c)与ax^2+(b-1)x+c=0(a≠0)同解； （3）且x∈R,g(x)和h(x)是实值函数，则方程f[g(x)]=f[h(x)]与g(x)=h(x)同解； （4）且x∈R,g(x)是实值函数，则方程f[g(x)]=f(x)与g(x)=x同解.

※※第二讲 方程（组）※※ 结束

※※第三讲 数列与数学归纳法※※

特殊数列求和主要应掌握以下几种方法：

（1）直接求和法：直接运用等差数列或等比数列的前n项和的公式来求和

（2）转化求和法：对于既非等差，又非等比数列的求和，经常通过拆、并、减、倒序相加、错位相减等方法，将非等差（比）数列转化为等差（比）数列来求前n项的和

（3）拆项求和法：如果一个数列的每一项都可化为几项的差，而前一项的减数与后一项的