新版高考数学理科必考题型：第7练基本初等函数问题（含答案）

1 1

第7练 基本初等函数问题

[内容精要] 基本初等函数就是最基本的函数，在后面所学的函数都是由它们转变延伸而来，我们在本讲所要复习的基本初等函数是指指数函数、对数函数、幂函数，我们要研究的是它们及它们所复合后的函数的性质及有关运算等知识．

题型一 指数函数的图象和性质 例1 已知函数f(x)＝2|2x是________．

破题切入点 判断函数t＝|2x－m|的单调区间，结合函数y＝2t的单调性，得m的不等式，求解即可． 答案 (－∞，4]

mm

解析 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减．而

22y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x

－m|

－m|

(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围

m

在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m

2

≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]． 题型二 对数函数的图象和性质

例2 函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )

破题切入点 求出函数y＝2log4(1－x)的定义域并判断函数的单调性，即可得出结论． 答案 C

解析 函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.选C. 题型三 幂函数的图象和性质

例3 已知周期函数f(x)的定义域为R，周期为2，且当－1

A．{a|a＝2k＋或2k＋，k∈Z}

4413

B．{a|a＝2k－或2k＋，k∈Z}

445

C．{a|a＝2k＋1或2k＋，k∈Z}

4D．{a|a＝2k＋1，k∈Z}

破题切入点 画出函数f(x)的草图，看选项，对参数a取特殊值，验证是否满足题设条件，不满足则排除，即可得正确选项． 答案 C

解析 画出函数f(x)的草图，当a＝1时，如图所示，

直线y＝－x＋1与曲线y＝f(x)恰有2个交点，故排除A、B；

55

当a＝时，直线y＝－x＋与曲线y＝f(x)恰有2个交点，如图所示，根据函数的周期性，选

44C.

总结提高 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高中数学重要的基本初等函数，考查形式主要是选择题和填空题，也有可能以解答题中某一小问的形式出现．考查重点主要有三个：一是考查指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，二是考查指数式与对数式的运算，三是考查交汇性问题．

(2)解决好本部分问题需要注意以下三点：

①理清定义：掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念，并注意指数函数与幂函数的区别．

②心中有图：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能灵活运用函数图象和性质解题．

③把握交汇：把握指数函数、对数函数、幂函数与其他知识交汇的特点，在综合应用中强化对这三种函数的理解．

1．若函数y＝ax＋b－1 (a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( ) A．00 C．0

解析 (1)当01时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限．

∵y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限， ∴只可能0

(2)如图，这个图可理解为y＝ax (0

??b－1<0，∴?解得b<0. ?|b－1|>1，?

B．a>1且b>0 D．a>1且b<0

由(1)、(2)可知0

2．(20xx·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a C．a>c>b 答案 D

解析 因为a＝log36＝1＋log32＝1＋1log72＝1＋，显然a>b>c.

log27

3．(20xx·福建)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )

11

，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log23log25B．b>c>a D．a>b>c

答案 B

1－

解析 由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3x＝()x，

3显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称．显然不符．故选B.

4．设a>0，b>0( ) A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则ab D．若2a－2a＝2b－3b，则a

解析 对于x>0时有2x＋2x<2x＋3x恒成立， 而要使2a＋2a＝2b＋3b成立，则必须有a>b.

5．“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2＝xz成立”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 由lg x，lg y，lg z成等差数列，可以得出2lg y＝lg x＋lg z，根据对数函数的基本运算可得，y2＝xz，但反之，若y2＝xz，并不能保证x，y，z均为正数，所以不能得出lg x，lg y，lg z成等差数列．故选A.

6．已知x，y为正实数，则( ) A．2lg xB．2lg(x

＋lg y

＝2lg x＋2lg y

＋y)

＝2lg x·2lg y

lg yC．2lg x·＝2lg x＋2lg y

D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y 答案 D 解析 2lg(xy)＝2lg x

＋lg y

＝2lg x·2lg y.