八年级数学第二十二章 四边形

[过渡语] 到目前为止,平行四边形的性质研究就告一段落了,我们不仅从边与角两方面考查了平行四边形的性质,还考查了它的对角线的特点,现在我们就可以利用这些知识点来解决问题了. 思路一

【课件3】

(教材第120页例2) 已知:如图所示,O为?ABCD两条对角线的交点,AC=24 mm,BD=38 mm,BC=28 mm,求△OAD的周长.

分析:根据平行四边形的对角线互相平分和平行四边形的对边相等即可得出结论.

让学生先自己独立完成,指一名学生板演,然后集体讲评. 解:在?ABCD中,

∵AC=24 mm,BD=38 mm,

∴AO=2=2=12(mm), ????24

DO=2=2=19(mm).

又∵BC=28 mm. ∴AD=BC=28 mm.

∴△OAD的周长=AO+OD+AD=12+19+28=59(mm). 【课件4】

(教材第120页例3) 已知:如图所示,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,直线EF过点O,交DA于点E,交BC于点F.

求证OE=OF,AE=CF,DE=BF.

分析:可以根据三角形全等的知识,先证△AOE≌△COF,从而得到OE=OF,AE=CF,再根据AD=CB,即可得到DE=BF.

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,且对角线AC与BD相交于点O,

????38

∴OA=OC,∠EAO=∠FCO. 又∵∠AOE=∠COF, ∴△AOE≌△COF. ∴OE=OF,AE=CF. 又∵AD=CB,

∴DE=AD-AE=CB-CF=BF.

【课件5】 若例3中的条件都不变,将EF向两方延长与平行四边形的一组对边的延长线分别相交,如图所示,例3的结论是否成立?说明你的理由.

思路二

【课件6】 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,AB=10,AD=8,AC⊥BC,求BC,CD,AC,OA的长以及?ABCD的面积.

变式1:你能求出OB的长吗?

变式2:图中△AOB,△BOC和△COD,△AOD的面积相等吗?

【教师活动】 教师指导学生对例题进行分析,引导探索解题思路和步骤.对于变式1和变式2,要让学生讨论、交流各自的想法,达成共识,然后完成解题步骤.

【学生活动】 学生在交流的过程中,要充分说明理由,并互相补充.

[设计意图] 通过例题,让学生学会如何分析问题,如何用符号语言书写解题步骤,突破用几何语言书写的难点.

【课件7】

1.平行四边形的性质: 图形

边 角 对角线 对边平对角相对角线等, 行 互 且相等 邻角互相平分 补 注意:利用平行四边形的性质可以证明线段相等、角相等及两直线平行等结论. 2.平行四边形的性质口诀: 平行四边形,形状不稳定; 平行四边形,对角定相等; 平行四边形,对边也相等; 注意对角线,互相能平分.

1.如图所示,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,图中全等三角形的对数为 ( )

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OD=OB,OA=OC.在

????=????,

AOD≌△COB(SAS);同理可得△AOB≌△△AOD和△COB中, ∠??????=∠??????,∴△

????=????,

????=????,

ABD≌△CDB(SSS);同理可得△COD(SAS);在△ABD和△CDB中, ????=????,∴△

????=????,

ACD≌△CAB(SSS).∴图中共有4对全等三角形.故选D.

(第1题图)

(第2题图)

2.如图所示,平行四边形的一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为 ( )

A.4

解析:∵BC=10,AC=6,∴OC=AO=3,BD=2OB,∴10-3

7

3.如图所示,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是 ( )

A.AO=OD B.AO⊥OD C.AO=OC D.AO⊥AB

解析:根据平行四边形的对角线互相平分,可知选C.

(第3题图)

(第4题图)

4.(2016·泸州中考)如图所示,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是 ( )

A.10 B.14 C.20 D.22 解析:∵四边形ABCD是平行四边

形,∴AO=CO,BO=DO,DC=AB=6.∵AC+BD=16,∴AO+BO=8,∴△ABO的周长是14.故选B.

5.如图所示,?ABCD的周长为20 cm,AC与BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,则△CDE的周长为 ( )

A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm

解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD=BC,OA=OC.∵?ABCD的周长为20 cm,∴AD+DC=10 cm.又∵OE⊥AC,∴AE=CE,∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10(cm).故选C.

6.如图所示,在?ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF,

分别交DA的延长线和BC的延长线于点E,F,交AB,CD于点M,N. (1)观察图形找出一对全等三角形,并加以说明;

(2)在(1)中你所找出的全等三角形中,其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样变换得到的?

解:(1)答案不唯一,如:①△DOE≌△BOF. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠EDB=∠FBD,∠E=∠F. 由题意知OD=OB, ∴△DOE≌△BOF(AAS). ②△BOM≌△DON.

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD, ∴∠MBO=∠NDO,∠BMO=∠DNO. 由题意知BO=DO, ∴△BOM≌△DON(AAS).

(2)(答案不唯一)△BOM绕点O旋转180°得到△DON.

7.如图所示,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,MN是过O点的直线,交BC于M,交AD于N,BM=2,AN=2.8,求BC和AD的长.

解析:根据平行四边形的性质得OA=OC,根据平行线的性质,得∠OAN=∠OCM,结合对顶角相等即可证明△AON≌△COM,则AN=CM=2.8,最后求解.

解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD,OA=OC,AD∥BC, ∴∠OAN=∠OCM.

在△AON与△COM中,

∠??????=∠??????,

AON≌△COM. ????=????,∴△

∠??????=∠??????,

∴AN=CM=2.8.∴BC=AD=4.8.