高中数学 (2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用)示范教案 新人教A版必修5

2.5 等比数列的前n项和

2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用

从容说课

师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.

等比数列前n项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得

anaaa?n?1?...?3?2?q, an?1an?2a2a1Sn?a1a?anq?q,整理得Sn?1(q?1).

Sn?an1?q再由分式性质，得

教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.

教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导; 2.等比数列前n项和公式的应用.

教学难点 等比数列前n项和公式的推导. 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等

三维目标

一、知识与技能

1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题； 2.探索并掌握等比数列前n项和公式；

3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一； 4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想. 二、过程与方法

1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学； 2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动. 三、情感态度与价值观

1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；

2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；

3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.

教学过程

导入新课

师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？ 生 知道一些，踊跃发言.

师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.

师 假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？

生 各持己见.动笔，列式，计算. 生 能列出式子：麦粒的总数为

263

1+2+2+…+2=?

师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下. 课件展示：

2 63

1+2+2+…+2=?

师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和. 现在我们来思考一下这个式子的计算方法：

2363

记S=1+2+2+2+…+2 ，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消. 课件展示：

23 63

S=1+2+2+2+…+2,①

236364

2S=2+2+2+…+2+2,② ②-①得

64

2S-S=2-1. 64 19

2-1这个数很大，超过了1.84×10，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.

师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识. 推进新课

［合作探究］

2n师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q+…+q=？ 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察. 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.

师 若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？

2n n+1

生 q+q+…+q+q.

生 每一项就成了它后面相邻的一项. 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？ 师 生共同探索：

2n如果记Sn=1+q+q+…+q,

2n n+1

那么qSn=q+q+…+q+q.

n要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-q. 师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.

1?qn生 如果q≠1，则有S?.

1?q师 当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果. 生 如果q＝1，那么Sn=n.

师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？ 课件展示： a1+a2+a3+…+an=？ ［教师精讲］

师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.

师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”. 如果记Sn=a1+a2+a3+…+an, 那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq. 师 再次提醒学生注意q的取值. 如果q≠1，则有Sn?a1?anq.

1?q师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：

2n-1

如果记Sn=a1+a1q+a1q+…+a1q ,

2n-1n那么qSn=a1q+a1q+…+a1q+a1q,

n要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1q.

a1(1?qn)如果q≠1，则有Sn?.

1?q师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.

值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.

师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流. 生 如果q＝1，Sn=na1. 师 完全正确.

如果q＝1，那么Sn=nan.正确吗？怎么解释？

生 正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍. 师 对了，这就是认清了问题的本质.

师 等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下： ［合作探究］

思路一：根据等比数列的定义，我们有：

aa2a3a4???...?n?q, a1a2a3an?1再由合比定理，则得

a2?a3?a4?...?an?q,

a1?a2?a3?...?an?1即

Sn?a1?q,

Sn?an从而就有(1-q)Sn=a1-anq. (以下从略)

思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an得

Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an), 从而得(1-q)Sn=a1-anq. (以下从略)

师 探究中我们们应该发现，Sn-S n-1=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？ 生 n＞1.

师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S n-1=an，n＞1.

师 综合上面的探究过程，我们得出：

?na1,q?1,?na1,q?1,??Sn??a1(1?qn)或者?a1?anqq?1

?1?q,q?1?1?q,??［例题剖析］

【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：

111,,,…； 2481(2)a1=27,a9=,q＜0.

243(1)

［合作探究］ 师生共同分析：

11，q?,求n＝8时的和，直接用公式即可. 2218

由(2)所给条件，需要从a9?中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而a9=a1q，所以由

243由(1)所给条件，可得a1?条件可得q=

8

a911 =，再由q＜0，可得q??，将所得的值代入公式就可以了. a1243?273生 写出解答：

11[1?()8112?255. (1)因为a1?,q?，所以当n＝8时，S8?21222561?2(2)由a1=27,a9?a118，可得q?9?，

a1243?272431 311(1?)164027243?27于是当n＝8时，S8?. ?1811?(?)3又由q＜0，可得q??,

【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？ 师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题. 生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.

解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.

5000(1?1.1n)?30000, 于是得到

1?1.1整理得1.1=1.6,

两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,

n