专题05 解三角形-2020年高考数学多题一解篇(文理通用)(原卷版)

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2020年高考数学二轮复习微专题（文理通用）

多题一解之解三角形篇

【知识储备】

abc

1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：

sin Asin Bsin C

(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C. (2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．

b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2

余弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2bc2ac2ab

3．三角形中常用的面积公式

1

(1)S＝ah(h表示边a上的高)．

2111

(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C.

222

1

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

24、在△ABC中，常有以下结论： A＋BπC

(1)A＋B＝π－C，＝－. 222

π

（2）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C(A，B，C≠)．

2（3）∠A＋∠B＋∠C＝π。

（4）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （5）sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin（6）tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC。 （7）∠A>∠B?a>b?sinA>sinB?cosA

1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B

两点．若|AF2|?2|F2B|，|AB|?|BF1|，则C的方程为

A＋BA＋BCC

＝cos；cos＝sin。 2222

x2A．?y2?1

2x2y2C．??1

43

x2y2B．??1

32x2y2D．??1

542、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是

2

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边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A．86? C．26?

B．46? D．6?

3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设

(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC．

（1）求A；（2）若2a?b?2c，求sinC．

【2019年高考浙江卷】在△ABC中，点D在线段AC上，若?BDC?45?，AB?4，BC?3，?ABC?90?，

则BD?___________，cos?ABD?___________．

【例】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b?6,a?2c,B?△ABC的面积为_________．

π，则3【基本题型】

题型一、已知两角一边

【例】在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________. 题型二、已知两边一角

【例】在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A、角C和边a. 题型三、已知三边

【例】在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C.

【例】如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.

【点评】(1)已知三边a，b，c。运用余弦定理可求三角A，B，C。

(2)已知两边a，b及夹角C。运用余弦定理可求第三边c。

bsinA(3)已知两边a，b及一边对角A。先用正弦定理，求sinB，sinB＝。

a①A为锐角时，若ab，一解。

(4)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边。 【典例分析】

一、解三角形与圆锥曲线相结合

2

1

【例】【山东省实验中学等四校2020届高三联考】双曲线M的焦点是F1,F2，若双曲线M上存在点P，使

△PF1F2是有一个内角为

2π的等腰三角形，则M的离心率是______. 3x2y2

【例】如图，椭圆2＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若

a2|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为( )

A．2 B．3 C．4 二、解三角形与平面向量相结合

D．5

uuuruuur【例】在?ABC中，内角A,B,C的对边a,b,c，且a?c，已知BA?BC?2，cosB?1，b?3，求：

3（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos(B?C)的值． 三、解三角形与空间角相结合

【例】 (2018全国卷Ⅱ)在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC所成角的余弦值为 A．1

5

B．5

6?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1

C．5

5

D．2

2【例】如图，在四棱锥A?BCDE中，平面ABC?平面BCDE，

?CDE??BED?90o，AB?CD?2，DE?BE?1，AC?2．

（Ⅰ）证明：DE?平面ACD；（Ⅱ）求二面角B?AD?E的大小．

ADE四、解三角形与三角函数结合

CB

B，C的对边分别为a，b，c，【例】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，已知asin（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围． 【例】【2019年高考北京卷理数】在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=?（1）求b，c的值；（2）求sin（B–C）的值． 【跟踪练习】

A?C?bsinA． 21． 22

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1．(2018全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：

x2y2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C2ab的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|?A．5

B．2

6|OP|，则C的离心率为

D．2

C．3

x2y2

2、若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝( )

92

ππ2π5πA. B. C. D. 6336

3．(2017新课标Ⅱ)已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ABC?120o，AB?2，

BC?CC1?1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

A．3 B．15 C．10 D．3 23554．【山东省实验中学等四校2020届高三联考】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABCπ?2?的面积为S，且43S??a?b??c2，则sin?C???

4??A．1 C．

B．D．2 26?2 46?2 4

5、已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线

AB与CC1所成的角的余弦值为

A．C．3 4

3B．

455 D．

446、已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝______。

7、如图，三棱锥A?BCD中，AB?AC?BD?CD?3，AD?BC?2，点M,N分别是AD,BC的中点，

则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是 ．

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