试验设计（陈魁）第三章

3.3 混合水平的正交试验设计 83

第3章 正交试验设计

在生产实践中，试制新产品、改革工艺、寻求好的生产条件等，这些都需要先做试验. 而试验总要花费时间，消耗人力、物力，因此人们总希望做试验的次数尽量少，而得到的结果尽可能好.要达到这个目的，就必须事先对试验作合理的安排，也就是要进行试验设计.

实际问题是复杂的，对试验有影响的因素往往是多方面的.我们要考察各因素对试验影响的情况.在多因素、多水平试验中，如果对每个因素的每个水平都互相搭配进行全面试验，需要做的试验次数就会很多.比如多两个7水平的因素，如果两因素的各个水平都互相搭配进行全面试验，要做7=49次试验，而3个7水平的因素要进行全面试验，就要做7=343次试验，照这样，对6个7水平的因素，进行全面试验就要做7=117649次试验.做这么多次试验，要花费大量的人力、物力，还要用相当长的时间，显然是非常困难的.有时，由于时间过长，条件改变，还会使试验失效.人们在长期的实践中发现，要得到理想的结果，并不需要进行全面试验，即使因素个位、水平都不太多，也不必做全面试验.尤其对那些试验费用很高，或是具有破坏性的试验，更不要做全面试验.我们应当在不影响试验效果的前提下，尽可能地减少试验次数.正交设计就是解决这个问题的有效方法.正交设计的主要工具就是正交表，用正交表安排试验是一种较好的方法，在实践中已得到广泛的应用.

3623.1 正交表及其用法

4正交表是一种特制的表格.这里介绍表的记号、特点及用法。下面以L93为例来

??说明.这个正交表的格式如表3.1.1.

4表 3.1.1 正 交 表 L93

?? 列号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1 L9?34?是什么意思呢？字母L表示正交表；数字9表示这张表共有9行，说明用这

张表来安排试验要做9次试验；数字4表示这张表共有4列，说明用这张表最多可安排4个因素；数字3表示在表中主体部分只出现1,2,3三个数字，他们分别代表因素的3个

k水平，说明各因素都是3个水平的.一般的正交表记为Lnm，n是表的行数，也就是要安

??3.3 混合水平的正交试验设计 83

排的试验次数；k是表中列数，表示因数的个数；m是各因数的水平数.

371115常见的正交表中，2水平的有L42,L82,L122,L162 等，这几张表中的数

????????字2表示各因素都是2水平的；试验要做的次数分别为4,8，12,16；最多可安排的因素

413分别为3,7,11,15.3水平的正交表有L93,L273,这两张表中的数字3表示各因素

????都是3水平的，要做的试验次数分别为9,27；最多可安排的因素分别为4,13.还有4水

65平的正交表如L154，5水平的正交表如L255，等等.详细情况见书后的附表.

????正交表有下面两条重要性质：

4（1）每列中不同数字表现的次数是相等的，如L93，每列中不同的数字是1,2,3，

??它们各出现3次；

（2）在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数列时，每种数对出现的次数是相

4等的，如L93，有序数对共有9个： （1,1），（1,2），（1,3），（2，1），（2,2），（2,3），（3,1），

??（3,2），（3,3），它们各出现一次.

由于正交表有这两条性质，用它来安排试验时，各因素的各种水平的搭配是均衡的，这是正交表的优点.

下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计.

例 3.1.1 某炼铁厂为了提高铁水温度，需要通过试验选择最好的生产方案，经初步分析，主要有3个因素影响铁水温度，它们是焦比、风压和底焦高度，每个因素都考虑3个水平，具体情况如表3.1.2.问对这3个因素的3个水平如何安排，才能获得最高的铁水温度？

表 3.1.2 水平1 2 3

因素 A 焦比 1:16 1:18 1:14 B 风压/113Pa 170 230 200 C 底焦高度/m 1.2 1.5 1.3 解 在这个问题中，人们关心的是铁水温度，称它为试验指标.如何安排试验才能获

得最高的铁水温度，这只能通过试验才能解决.这里有3个因素，每个因素有3个水平，是一个3因素3水平的问题.如果每个因素的每个水平都互相搭配着进行全面试验，必须做试验3=27次，我们把所有可能的搭配试验编号写出，列在表3.1.3中.

表 3.1.3 序 号 1 A 1 B 1 C 1 序 号 15 A 2 B 2 C 3 33.3 混合水平的正交试验设计 83

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 进行27次试验要花很多时间，耗费不少的人力、物力，我们希望减少试验次数，但又不能影响试验的结果，因此，不能随便地减少试验，应当把有代表性的搭配保留下来，为此，

4我们按L93表（表3.1.1）中前3列的情况从27个试验中选出9个，它们的序号分

??别为1，5,9,11,15,16,21,22,26，将这9个试验按新的编号1?9写出来，正好是正交表

L9?34?的前3列，如表3.1.4.

表 3.1.4 编号1 2 3 4 5 6 7 因素 1 1 1 2 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 3 1 3 A B C 3.3 混合水平的正交试验设计 83

8 9

3 3 2 3 1 2 4 由前面对正交表L93的分析可知，这9个试验中各因素的每个水平的搭配都是均

??衡的.每个因素的每个水平都做了3次试验；每两个因素的每一种水平搭配都做了1次试验.从这9个试验的结果就可以分析清楚每个因素对试验指标的影响.虽然只做了9个试验（只占全部试验的1/3），但是能够了解到全面情况.可以说这9个试验代表了全部试验.

按选定的这9个试验进行试验，表3.1.4就成为具体的试验方案表，将每次试验测得的铁水温度记录下来，得数值见表3.1.5.

表 3.1.5

试验编号 铁水温度/℃

为便于分析计算，把这些温度值列在表3.1.4的右边，做成一个新的表3.1.6，这张表便于对试验结果进行分析计算.由于铁水温度数值较大，可把每一个铁水温度的值都减去1350，得到9个较小的数，这样是计算简单，对这组新数据进行分析，与对原数据进行分析，效果是相同的.

表 3.1.6 因素 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 K1 K2 K3 1 2 3 铁水温度/℃ 1365 1395 1385 1390 1395 1380 1390 1390 1410 铁水温度值减去1350 15 45 35 40 45 30 40 40 60 1 2 3 1385 4 1390 5 1395 6 1380 7 1390 8 9 1365 1355 1390 1410 A 1 1 1 2 2 2 3 3 3 95 115 140 B 1 2 3 1 2 3 1 2 3 95 130 125 C 1 2 3 2 3 1 3 1 2 85 145 120