第6课时 - 函数的单调性(1)教师版

第六课时 函数的单调性（1）

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知识网络 函数单调性 单调性定义 单调区间定义 证明函数单调性 求函数单调区间 单调性与图像 学习要求

1．理解函数单调性概念；

2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；

3．提高观察、抽象的能力．；

自学评价 1．单调增函数的定义：

一般地，设函数y?f(x)的定义域为

A，区间I?A． 如果对于区间I内的任

意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间

I上是单调增 函数，I称为y?f(x)的单

调 增 区间． 注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；

⑵. 单调性、单调区间是有区别的；2．单调减函数的定义：

一般地，设函数y?f(x)的定义域为

A，区间I?A．

如果对于区间I内的任意两个值x1，

x2，当x1?x2时，都有 f(x1)?f(x2)，

那么就说y?f(x)在区间I上是单调 减函数，I称为y?f(x)的单调 减 区间．3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 上升 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 下降 的图像。（填＂上升＂或＂下降＂）

4．函数单调性证明的步骤：

（1） 根据题意在区间上设x1?x2 ； （2） 比较f(x1),f(x2)大小 ； (3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .

【精典范例】

一．根据函数图像写单调区间：

例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）y??x2?2；

（2）y?1x； （3）f(x)???x2?1, x?02x?2, x?0．

??【解】 （图略）

（１）函数y??x2?2的单调增区间为

(??,0)，单调减区间为(0,??)；

（２）函数y?

1

x

在(??,0)和(0,??)上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是(??,0)和

(0,??)．

（３）函数f(x)???x2?1, x?02x?2, x?0在实数集R??上是减函数；

即f(x)?f(x) 二．证明函数的单调性：

例2：求证：函数f(x)= －x3

+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数 证明：设x1，x2∈R且x1

－x33

1+1+x2－1

=(x－x22

21)(x2+x1x2+x1)

因为x22

2>x1，x2+x1x2+x1>0 所以f(x1) －f(x2)>0即 f(x1)>f(x2)

所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减

追踪训练一 1. 函数y?1?1x?1 (C) (A)在(?1,??)内单调递增 (B)在(?1,??)内单调递减 (C)在(1,??)内单调递增 (D)在(1,??)内单调递减

2. 函数y??x2?2x?8的单调增区间

为 (?4,?1)．. 3. 求证：f(x)?x?1x在区间(0,1)上是减函数．

证明：设0?x1?x2?1，则

x2?x1?0,0?x1x2?1

∴f(x2)?f(x1)

?(x112?x)?(x1?)2x1?(x2?x1)?(1x?1)2x1

?(x?x(x2?x1)21)?x1x2?(x(x1x2?1)2?x1)xx?01221故f(x)?x?1x在区间(0,1)上是减函数． 听课随笔

【选修延伸】

如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集：

例３: 函数y?1x在其定义域

(??,0?)(?0上是减函数吗？?,

分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明，如果要说明这个命题是真命题时我们要给出严格的定义证明，而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足定义的x1,x2，并加以说明． 【解】

该命题是假命题；例如x1??1,x2?1时，

f(x1)??1,f(x2)?1，显然x1?x2且f(x1)?f(x2)，所以＂函数y?1x在其定义域(??,0)?(0,??)上是减函数＂是不成立的．

点评:

1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域； 2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。

思维点拔： 一、利用图像写函数的单调区间？

我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间．

追踪训练 1．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是

（B ）

A．(－∞，34]B．[34，＋∞)

C．(－∞，－34]D．[－34，＋∞)2. 若函数f(x)是R上的增函数，对于实数

a,b，若a?b?0，则有(A )

(A)f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b) (B)f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b) (C)f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b) (D)f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

3. 函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是

[?2,0]，则f(x)的单调递减区间是

__[?1,1]______．

4. 函数y=??x?1，x?0x?1，x?0的单调减区间为

??(－∞，0). 5．讨论函数f(x)?ax?1x?2(a?12)在(?2,??)上的单调性.

解：f(x)?ax?1x?2 ?ax?2a?1?2ax?2?1?1?2a

x?2设?2?x1?x2，则

(x2?2)(x1?2)?0,x2?x1?0

∴f(x2)?f(x1)

?1?2a1?x2?2a2?x1?2?2a)(x

?(11?x2)(x2?2)(x1?2)∵

(x1?x2)(x?2)(x?0

21?2)当a?12时，f(x2)?f(x1)，此时函数f(x)?ax?11x?2(a?2)在

听课随笔

(?2,??)上是单调减函数；

当a?12时，f(x2)?f(x1)，此时函数

f(x)?ax?1x?2(a?12)在(?2,??)上是单调增函数；

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