鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量与复数5.4平面向量的综合应用教案含解析

化为(x＋1)＋(y－2)＝1.①

→→

又AB·AC＝2(x＋1)＋2(y－2)＝2，化为x＋y＝2.② 联立①②解得?

?x＝－1，???y＝3

22

或?

?x＝0，???y＝2.

又点C在第二象限，∴C(－1,3)． →→

又CD＝BA，∴(a＋1，b－3)＝(－2，－2)， 解得a＝－3，b＝1. ∴D(－3,1)．

→

(2)由(1)可知AC＝(0,1)， →→

∴AC＋mAB＝(2m,2m＋1)， →→→

BC＝AC－AB＝(－2，－1)． →→→

∵AC＋mAB与BC垂直，

→→→

∴(AC＋mAB)·BC＝－4m－(2m＋1)＝0， 1

解得m＝－. 6

12．已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝(3，cosA＋1)，n＝(sinA，－1)，m⊥n. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，cosB＝解 (1)∵m⊥n，

∴m·n＝3sinA＋(cosA＋1)×(－1)＝0，

3

，求b的值． 3

?π?1

∴3sinA－cosA＝1，∴sin?A－?＝. 6?2?

ππ5π

∵0

666πππ

∴A－＝，∴A＝. 663

π3(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cosB＝，

33∴sinB＝1－cosB＝

216

1－＝. 33

由正弦定理知＝，

sinAsinB

17

ab62×342asinB∴b＝＝＝，

sinA33

2

42∴b＝. 3

13．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为→→→

半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值为________．

9

答案 － 2

解析 ∵圆心O是直径AB的中点，

→→→→→→→→∴PA＋PB＝2PO，∴(PA＋PB)·PC＝2PO·PC， →→

∵|PO|＋|PC|＝3≥2→→9∴|PO|·|PC|≤，

4

9→→→→→→→→→3

即(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2|PO|·|PC|≥－，当且仅当|PO|＝|PC|＝时，等号成立，

229

故最小值为－.

2

14．(2018·包头模拟)已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，→→

则HB·HC的最小值为( ) A．－4B．－25C．－9D．－16 答案 D

解析 以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

→→|PO|·|PC|，

设点H(x，y)，则B(－5,0)，C(5,0)， →→

所以HB＝(－5－x，－y)，HC＝(5－x，－y)，

18

→→

则HB·HC＝(－5－x，－y)·(5－x，－y) ＝x＋y－25，

又因为AB＝8，且H为弦AB上一动点， 所以9≤x＋y≤25，

其中当取AB的中点时取得最小值， →→

所以HB·HC＝9－25＝－16，故选D.

15．如图2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点

2

2

2

2

A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP＝xOA→

＋yOB，则x＋y的取值范围是( )

→→

A．[－4,4] C．[－5,5] 答案 C

解析 如图建立平面直角坐标系，

B．[－21，21] D．[－6,6]

33→→

令正三角形边长为3，则OB＝i，OA＝－i＋j，

2223→→→

可得i＝OB，j＝OA＋3OB，

3

→→→

由图知当点P在点C时，有OP＝3j＝2OA＋3OB， 此时x＋y有最大值5，

→→→

同理当点P在与C相对的下顶点时有OP＝－3j＝－2OA－3OB， 此时x＋y有最小值－5.故选C.

16．记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝c·(a

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＋2b－2c)＝2，则( ) A．|a－c|3＋7

3－7

max＝2 B．|a＋c|max＝2 C．|a－c|3＋7

min＝2

D．|a＋c|3－7

min＝

2

答案 A

解析 由已知可得a·b＝|a||b|cosθ＝2， cosθ＝1π

2，θ＝3

，

建立平面直角坐标系，a＝→

OA＝(2,0)，

b＝OB→＝(1，3)，c＝OC→

＝(x，y)，

由c·(a＋2b－2c)＝2，

可得(x，y)·(4－2x,23－2y)＝2， 即4x－2x2

＋23y－2y2

＝2， 化简得C点轨迹为(x－1)2

＋??y－3?23?2??＝4

， 则|a－c|＝?x－2?2

＋y2， 转化为圆上点与(2,0)的距离 |a－c|max＝12

＋?

?3?3?2?2

3＋7?

＋2＝2.

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