当前位置：首页 > 鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量与复数5.4平面向量的综合应用教案含解析
其中m>0，n>0， →→→→则由AB·AC＝2AB·AD，
得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)， 所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.
→→2
故AD·AC＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m＋2m＝12.
→→→2
(2)(2018·广元统考)在△ABC中，AB＝2AC＝6，BA·BC＝BA，点P是△ABC所在平面内一→2→2→2→→
点，则当PA＋PB＋PC取得最小值时，AP·BC＝________. 答案 －9
→→→2
解析 ∵BA·BC＝BA， →→→2→→→∴BA·BC－BA＝BA·(BC－BA) →→
＝BA·AC＝0， →→
∴BA⊥AC，即BA⊥AC.
以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，
→2→2→2222222∴PA＋PB＋PC＝x＋y＋(x－6)＋y＋x＋(y－3) ＝3x－12x＋3y－6y＋45 ＝3[(x－2)＋(y－1)＋10]．
→2→2→2→→
∴当x＝2，y＝1时，PA＋PB＋PC有最小值，此时AP·BC＝(2,1)·(－6,3)＝－9. 思维升华向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示． (2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． 跟踪训练1(1)(2018·松原三校联考)已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝23，AC＝22，A→→
为钝角，M是BC边的中点，则AM·AO等于( )
2
2
2
2
5
A．3 C．5 答案 C
解析 ∵M是BC边的中点， →1→→
∴AM＝(AB＋AC)，
2
∵O是△ABC的外接圆的圆心， →→→→
∴AO·AB＝|AO|·|AB|cos∠BAO 1→212
＝|AB|＝×(23)＝6. 22
→→1→212
同理可得AO·AC＝|AC|＝×(22)＝4.
22→→1→→→
∴AM·AO＝(AB＋AC)·AO
2
1→→1→→1
＝AB·AO＋AC·AO＝×(6＋4)＝5. 222
(2)(2018·聊城模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的→→→→
任意一点，则PA·PB＋PA·PC的最小值为( ) A．1B．2C．－2D．－1 答案 C
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2)．
B．4 D．6
设点P的坐标为(x，y)，
→→
则PA＝(－x，2－y)，PO＝(－x，－y)， →→→→→→→ 故PA·PB＋PA·PC＝PA·PB＋PC22→→
＝2PA·PO＝2(x＋y－2y)
()
6
＝2[x＋(y－1)]－2≥－2，
2
2
当且仅当x＝0，y＝1时等号成立． →→→→
所以PA·PB＋PA·PC的最小值为－2. 题型二 向量在解析几何中的应用
→→→
例2(1)已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，→2
则|BM|的最大值是( ) 43A. 437＋63C. 4答案 B
→
解析 如图，由|AP|＝1知点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆．
B.D.49 4
37＋233
4
→→
由PM＝MC知， 点M为PC的中点， 取AC的中点N，连接MN， 11
则|MN|＝|AP|＝，
22
1
所以点M的轨迹是以N为圆心，以为半径的圆．
2→
因为|BN|＝3，
17→249→
所以|BM|的最大值为3＋＝，|BM|的最大值为.故选B.
224
(2)(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x＋y＝50→→
上，若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是________． 答案 [－52，1]
解析 方法一 因为点P在圆O：x＋y＝50上， 所以设P点坐标为(x，±50－x)(－52≤x≤52)． 因为A(－12,0)，B(0,6)，
2
2
2
2
2
7
→2
所以PA＝(－12－x，－50－x) →2
或PA＝(－12－x，50－x)， →
PB＝(－x,6－50－x2)或PB＝(－x,6＋50－x2)．因为PA·PB≤20，先取P(x，50－x2)
→→→
进行计算，
所以(－12－x)·(－x)＋(－50－x2
)(6－50－x2
)≤20， 即2x＋5≤50－x2
.
当2x＋5<0，即x<－5
2时，上式恒成立．
当2x＋5≥0，即x≥－522
2时，(2x＋5)≤50－x，
解得－5
2
≤x≤1，故x≤1.
同理可得P(x，－50－x2
)时，x≤－5. 又－52≤x≤52，所以－52≤x≤1. 故点P的横坐标的取值范围为[－52，1]． 方法二 设P(x，y)，
则→PA＝(－12－x，－y)，→
PB＝(－x,6－y)． ∵→PA·→
PB≤20，
∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20， 即2x－y＋5≤0.
如图，作圆O：x2
＋y2
＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，
∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0， ∴点P在EDF上．
2
2
由???
x＋y＝50，?2x－y＋得F点的横坐标为1，
?
5＝0，
又D点的横坐标为－52，
∴P点的横坐标的取值范围为[－52，1]． 思维升华向量在解析几何中的“两个”作用
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