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§5.4 平面向量的综合应用

最新考纲 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．

1．向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：

问题类型 线平行、点共线等问题 所用知识 共线向量定理 公式表示 a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0， 垂直问题 数量积的运算性质 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 a·bcosθ＝(θ为向量a，b的|a||b|夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题

数量积的定义 |a|＝a＝x＋y， 其中a＝(x，y)，a为非零向量 222(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤

设向量运算还原

平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题． 2．向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．

3．平面向量在物理中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．

1

(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为

F与s的夹角)．

4．向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 概念方法微思考

1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？

提示 (1)线段的长度问题．(2)直线或线段平行问题．(3)直线或线段垂直问题．(4)角的问题等．

2．如何用向量解决平面几何问题？

提示 用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) →→

(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．( √ )

→→

(2)在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形．( × )

→→→→→

(3)若平面四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是菱形．

( √ )

→

(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→→→

＝OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.( √ ) 题组二 教材改编

2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案 B

→→→

解析 AB＝(2，－2)，AC＝(－4，－8)，BC＝(－6，－6)， →→22∴|AB|＝2＋?－2?＝22，|AC|＝16＋64＝45， →

|BC|＝36＋36＝62， →2→2→2

∴|AB|＋|BC|＝|AC|，

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

2

∴△ABC为直角三角形．

→→

3．平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4，则点P的轨迹方程是____________． 答案 x＋2y－4＝0

→→

解析 由OP·OA＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4. 题组三 易错自纠

→→

4．在△ABC中，已知AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________． 2113±13

答案 －或或

332

→→

解析 ①若A＝90°，则有AB·AC＝0，即2＋3k＝0， 2

解得k＝－；

3

→→

②若B＝90°，则有AB·BC＝0， →→→

因为BC＝AC－AB＝(－1，k－3)， 11

所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝；

3

→→

③若C＝90°，则有AC·BC＝0，即－1＋k(k－3)＝0， 3±13

解得k＝.

2

2113±13

综上所述，k＝－或或. 332

→→

5．在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为________． 答案 5

→→

解析 依题意得AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0， →→

所以AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为 1→→1

|AC|·|BD|＝×5×20＝5. 22

→→22

6．已知点P在圆x＋y＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为坐标原点，则AO·AP的最大值为________． 答案 6

→

解析 方法一 由题意知，AO＝(2,0)，

3

→

令P(cosα，sinα)，则AP＝(cosα＋2，sinα)． →→

AO·AP＝(2,0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6， →→

故AO·AP的最大值为6.

→

方法二 由题意知，AO＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1， →→

则AO·AP＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6， →→

故AO·AP的最大值为6.

题型一 向量在平面几何中的应用

π→→→→→→，若AB·AC＝2AB·AD，则AD·AC4

例1(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝＝________.

答案 12

→→→→

解析 (1)方法一 因为AB·AC＝2AB·AD， →→→→→→所以AB·AC－AB·AD＝AB·AD， →→→→所以AB·DC＝AB·AD.

π

因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，

4

π→→→→

所以2|AB|＝|AB||AD|cos，化简得|AD|＝22.

4→→→→→→2→→故AD·AC＝AD·(AD＋DC)＝|AD|＋AD·DC π2

＝(22)＋22×2cos＝12.

4

方法二 如图，建立平面直角坐标系xAy.

依题意，可设点D(m，m)，

C(m＋2，m)，B(n,0)，

4