2020学年高中数学第1章导数及其应用章末综合检测(一)苏教版选修2_2

章末综合检测(一)

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

132

1．若函数f(x)＝x－f′(1)·x－x，则f′(1)的值为( )

3A．0 C．1

2

B．2 D．－1

2

解析：选A．f′(x)＝x－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝1－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.

2．若曲线y＝x＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 C．a＝1，b＝－1

B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1

2

解析：选A．y′＝2x＋a，所以y′|x＝0＝a＝1.将点(0，b)代入切线方程，得b＝1. 3．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内单调递增( )

?π3π?A．?，?

2??2

C．?B．(π，2π) D．(2π，3π)

?3π，5π? ?2??2

3

2

解析：选B．y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，当x∈(π，2π)时，－xsin x>0. 4．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x＋ax＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为( ) A．21 C．27

2

B．－21 D．－27

解析：选A．因为f′(x)＝3x＋2ax＋b， 2a－2＋4＝－，

3?a＝－3，?

所以??

?b?b＝－24.

－2×4＝

3

?????

所以a－b＝－3＋24＝21.故选A．

5．函数f(x)＝x－ln 2x的单调递减区间是( ) A．?0，

2

????

2?? 2?

2??2??，?0，? 2??2?

2

B．?

?2?

，＋∞? ?2???

2??2?，0?，?0，? 22???

C．?－∞，－D．?－

12x－1

解析：选A．因为f′(x)＝2x－＝，

xx??x＞0，

所以f′(x)≤0??2

?2x－1≤0.?

解得0＜x≤2. 2

3

2

6．对任意的x∈R，函数f(x)＝x＋ax＋7ax不存在极值点的充要条件是( ) A．0≤a≤21 C．a＜0或a＞21

2

B．a＝0或a＝7 D．a＝0或a＝21

2

解析：选A．f′(x)＝3x＋2ax＋7a，当Δ＝4a－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．

7．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 C．2

B．1 D．3

1

.由导数的几何意义可得在x＋1

解析：选D．令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－

点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，所以a＝3.

8．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足x≠1时(x－1)·f′(x)>0，则必有( ) A．f(0)＋f(2)>2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1)

B．f(0)＋f(2)<2f(1) D．f(0)＋f(2)≤2f(1)

解析：选A．当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；当x<1时，f′(x)<0，

f(x)在(－∞，1)上是减函数，故f(x)在x＝1处取得最小值，即有f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，

得f(0)＋f(2)>2f(1)．

9．已知函数f(x)＝2x＋ax＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )

A．(2，3) C．(2，＋∞)

2

3

2

B．(3，＋∞) D．(－∞，3)

解析：选B．因为f′(x)＝6x＋2ax＋36，且在x＝2处有极值， 所以f′(2)＝0，24＋4a＋36＝0，a＝－15， 所以f′(x)＝6x－30x＋36 ＝6(x－2)(x－3)， 由f′(x)>0得x<2或x>3.

故f(x)的递增区间为(－∞，2)和(3，＋∞) 10．函数y＝－2sin x的图象大致是( )

2

2

x

11

解析：选C．y′＝－2cos x，令y′＝0，解得cos x＝，根据三角函数的知识知这

24个方程有无穷多解，即函数y＝－2sin x有无穷多个极值点，又函数y＝－2sin x是奇函

22数，图象关于坐标原点对称，故只有选项C中的图象符合题意．

11．若不等式2xln x≥－x＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，0) C．(0，＋∞)

B．(－∞，4] D．[4，＋∞)

2

xx32

解析：选B．2xln x≥－x＋ax－3(x>0)恒成立，即a≤2ln x＋x＋(x>0)恒成立，设

x3x＋2x－3

h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)2

2

xx单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．

?π?12．定义在?0，?上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，若恒有f(x)

2??

则( )

?π??π?A．f??>3f??

?6??3??π??π?C．3f??>f?? ?6??3?

?π??π?B．f??<3f?? ?6??3??π??π?D．3f??

?π?所以sin

解析：选D．因为x∈?0，?，x>0，cos x>0.由f(x)

2??

x－f(x)cos x>0.

f(x)f′(x)sin x－f(x)cos x?0，π?不妨设g(x)＝，则g′(x)＝>0，所以函数g(x)在?2

2?sin xsinx??

上单调递增，

?π??π??π??π?所以g??

ππ?6??3??6??3?sin sin

63

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．某旅行社在暑假期间推出如下旅游组团方法：达到100人的团体，每人收费1 000元，如果团体的人数超过100人，那么每超1人每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，为使旅行社的收益最大，旅游团的人数应为________．

解析：设旅游团为x人时，收费为y元，依题意有y＝1 000x－5x(x－100)＝－5x＋1 500x(100

2

f??6

?π?f?π??????3?

y′＝－10x＋1 500，令y′＝0得x＝150，x＝150是函数f(x)的极大值点，

即当旅游团人数为150时，旅行社收益最大． 答案：150

14．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，

?π?则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在?0，?上不是凸函数的是________．

2??

①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x；③f(x)＝－x＋2x－1；④f(x)＝－xe.

3

－x?π?解析：对①，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－2·sin?x＋?，

4??

π?π3??π??π??π?当x∈?0，?时，x＋∈?，π?，sin?x＋?>0，所以f″(x)<0，即①是?0，?上的

2?4?2?4?44????凸函数；

11?π?f″(x)＝－1<0，?π?对②，f′(x)＝－2，f″(x)＝－2，当x∈?0，?时，所以②是?0，?2

2?2?xxx??上的凸函数；

?π?2

对③，f′(x)＝－3x＋2，f″(x)＝－6x，当x∈?0，?时，f″(x)＝－6x<0，所以③

2???π?是?0，?上的凸函数；

2??

?π?－x－x－x－x－x－x对④，f′(x)＝－e＋xe，f″(x)＝e＋e－xe＝e(2－x)，当x∈?0，?时，

2???π?－x－xe>0，2－x>0，所以f″(x)＝e(2－x)>0，所以④不是?0，?上的凸函数．

2??

答案：④

15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，xf′(x)－f(x)

>0(x>0)，则不等

x2