(泰安精品推荐)2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第五章 四边形 第20讲 矩形、菱形、正方形精练【优

则PH∥AB. ∵P是AE的中点, ∴PH是△AOE的中位线,

∴PH=OA=×(3-1)=1. ∵在Rt△AOE中,∠OAE=45°,

∴△AOE是等腰直角三角形,即OA=OE=2, 同理△PHE中,HE=PH=1. ∴HG=HE+EG=1+1=2.

∴在Rt△PHG中,PG===.

二、解答题

5.证明 (1)∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形, ∴AB=BC,BP=BF, ∴AP=CF,

在△APE和△CFE中,

∵

∴△APE≌△CFE, ∴EA=EC.

(2)△ACE是直角三角形,理由如下: 如题图2,∵P为AB的中点, ∴PA=PB, ∵PB=PE, ∴PA=PE, ∴∠PAE=45°,

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又∵∠BAC=45°, ∴∠CAE=90°, 即△ACE是直角三角形. (3)设CE交AB于点G, ∵EP平分∠AEC,EP⊥AG,

∴AP=PG=a-b,BG=a-(2a-2b)=2b-a, ∵PE∥CF,

∴=,

即=,

解得a=b,

∴a∶b=∶1.

作GH⊥AC于点H, ∵∠CAB=45°,

∴HG=AG=(2b-2b)=(2-)b,

又∵BG=2b-a=(2-)b,

∴GH=GB,

又∵GH⊥AC,GB⊥BC, ∴∠HCG=∠BCG, ∵PE∥CF, ∴∠PEG=∠BCG, ∴∠AEC=∠ACB=45°.

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6.解析 (1)①依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).

依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).

②点A在线段GF的垂直平分线上. (2)证明:过点G作GH⊥BC于点H.

∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, ∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°. ∴∠1+∠2=90°. ∵四边形CEFG为正方形, ∴CG=CE,∠GCE=90°. ∴∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3. ∴△GHC≌△CBE.

∴HC=BE.∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC. ∵AD=2AB,BE=AB, ∴BC=2BE=2HC, ∴HC=BH. ∴GH垂直平分BC.

∴点G在BC的垂直平分线上.

(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上). 证法一:过点F作FM^BC于点M,过点E作EN^FM于点N.

∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.

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∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, ∴∠CBE=∠ABC=90°. ∴四边形BENM为矩形. ∴BM=EN,∠BEN=90°. ∴∠1+∠2=90°. ∵四边形CEFG为正方形, ∴EF=EC,∠CEF=90°. ∴∠2+∠3=90°. ∴∠1=∠3.

∵∠CBE=∠ENF=90°, ∴△ENF≌△EBC. ∴NE=BE.∴BM=BE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC. ∵AD=2AB,AB=BE, ∴BC=2BM. ∴BM=MC. ∴FM垂直平分BC,

∴点F在BC边的垂直平分线上.

证法二:过F作FN⊥BE交BE的延长线于点N,连接FB,FC.

∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, ∴∠CBE=∠ABC=∠N=90°. ∴∠1+∠3=90°. ∵四边形CEFG为正方形, ∴EC=EF,∠CEF=90°. ∴∠1+∠2=90°,

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