(泰安精品推荐)2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第五章 四边形 第20讲 矩形、菱形、正方形精练【优

∵E是边CD的中点, ∴DE=1.

在Rt△ADE中,AE===,

∵S△ABE=S矩形ABCD=3=·AE·BF,

∴BF=.

4.D 连接AC,BD.当E,F,G,H是各边中点时,由三角形中位线定理可得EF∥AC且EF=AC,GH∥AC

且GH=AC,∴EF∥GH且EF=GH,∴四边形EFGH为平行四边形.当AC=BD

时,∵EF=AC,EH=BD,∴EF=EH,∴平行四边形EFGH为菱形,选项A正确;当AC⊥BD

时,∵EF∥AC,EH∥BD,∴EF⊥EH,∴平行四边形EFGH为矩形,选项B正确;当E,F,G,H不是各边中

点时,若===,则GH∥AC,EF∥AC,∴GH∥EF.∵===,∴EF=GH,∴四边形

EFGH为平行四边形,选项C正确;当E,F,G,H不是各边中点,且===时,四边形EFGH为

平行四边形,若=,BD=2AC,则==,==,即=,∴=,即EF=EH,∴四边形

EFGH为菱形,选项D错误.故选D. 5.B 连接EF,AE与BF交于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AF, ∴四边形ABEF是菱形,

∴AE⊥BF,OB=BF=4,OA=AE. ∵AB=5,

在Rt△AOB中,AO=

=3,

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∴AE=2AO=6. 故选B.

6.C ∵△BPC是等边三角形,

∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°. 在正方形ABCD中,

∵AB=BC=CD,∠A=∠ABC=∠BCD=90°, ∴∠ABE=∠DCF=30°, ∴BE=2AE,故①正确; ∵PC=CD,∠PCD=30°, ∴∠PDC=75°, ∴∠FDP=15°. ∵∠DBA=45°, ∴∠PBD=15°, ∴∠FDP=∠PBD, ∵∠DFP=∠BPC=60°, ∴△DFP∽△BPH,故②正确; ∵∠FDP=∠PBD=15°,∠ADB=45°, ∴∠PDB=30°,而∠DFP=60°, ∴∠PFD≠∠PDB,

∴△PFD与△PDB不会相似, 故③错误;

∵∠PDH=∠PCD=30°,∠DPH=∠DPC, ∴△DPH∽△CPD,

∴=

,

∴DP2

=PH·PC,故④正确. 故选C.

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二、填空题 7.答案 24

解析 ∵E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8, ∴AH=DH=BF=CF=4,AE=BE=DG=CG=3. 在△AEH与△DGH中,

∴△AEH≌△DGH(SAS).

同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF,

∴S四边形EFGH=S矩形ABCD-4S△AEH=6×8-4××3×4=48-24=24.故答案为24.

8.答案

解析 ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAD=∠D=90°,AB=AD. 又∵AE=DF, ∴△ABE≌△DAF, ∴∠ABE=∠DAF.

∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=180°-90°=90°, ∴∠DAF+∠AEB=90°, ∴∠AGE=∠BGF=90°.

∵在Rt△BGF中,点H为BF的中点,

∴GH=BF.

在Rt△BFC中,BC=5,CF=CD-DF=5-2=3,根据勾股定理得BF==,∴GH=.

9.答案 ①③④

解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形,

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又∵AB⊥AD,

∴四边形ABCD是正方形,①正确;

∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BD,AB⊥BD, ∴平行四边形ABCD不可能是正方形,②错误; ∵四边形ABCD是平行四边形,OB=OC, ∴AC=BD,

∴四边形ABCD是矩形, 又OB⊥OC,即对角线互相垂直, ∴平行四边形ABCD是正方形,③正确; ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形,

又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形, ∴平行四边形ABCD是正方形,④正确; 故答案为①③④. 三、解答题

10.解析 (1)证明:∵∠BAF+∠DAE=90°, ∠ADE+∠DAE=90°, ∴∠BAF=∠ADE,

在Rt△DEA和Rt△AFB中,

∴Rt△DEA≌Rt△AFB, ∴AE=BF.

(2)设AE=x(x>0),则BF=x,

∵四边形ABED的面积为24,DE=AF=2,

∴S2

四边形ABED=S△ABE+S△AED=x+×2x=24, 解得x1=6,x2=-8(舍), ∴EF=AE-AF=6-2=4,

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