2016新课标三维人教B版数学选修4-4 2.1 曲线的参数方程

π??

C.?0，2? ??

D．(2,0)

解析：选D 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.

2

?x＝3t＋2，

3．曲线的参数方程为?则曲线是( ) 2

y＝t－1，?

A．线段 C．圆

B．双曲线的一支 D．射线

解析：选D 消去参数得x－3y－5＝0，且x≥2，故是射线．

4．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是( )

?x＝|t|

A.? ?y＝t

?x＝cos tB.?2 ?y＝cost

?x＝tan t

C.?1＋cos 2t?y＝1－cos 2t

?x＝tan t

D.?1－cos 2t?y＝1＋cos 2t

解析：选D A显然错误，B中x∈[－1,1]与原题中x的范围不同，C可化1

为y－x2＝0，故选D.

二、填空题

5．方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹的参数方程为________．

解析：由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得 (x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2. 设圆心坐标为(x，y)， ?x＝2t，则? y＝t.??x＝2t，答案：?

?y＝t

?x＝3t，

6．已知曲线C的参数方程是?(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)2

y＝2t＋1?与曲线C的位置关系__________________________(填点是否在曲线上)．

版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn

解析：将M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t＝0.

?5＝3t，

因此M1在曲线C上．同理可知方程组?无解， 2

?4＝2t＋1故M2不在曲线C上．

答案：M1在曲线C上，M2不在曲线C上

?x＝3＋2cos θ，

7．若点(x，y)在曲线?(0≤θ≤2π)上，则x2＋y2的最小值是

?y＝－4＋2sin θ________．

解析：法一：由题可知，x2＋y2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ4

－16sin θ＝29＋20cos(θ＋φ)(tan φ＝3)，当cos(θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.

法二：将原式转化为普通方程(x－3)2＋(y＋4)2＝4，它表示圆．令t＝x2＋y2，则t可看成圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，tmin＝[?0－3?2＋?0＋4?2－2]2＝9，所以x2＋y2的最小值为9.

答案：9

?x＝t＋1，8．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：?(t为参数)与曲线C2：

?y＝1－2t?x＝asin θ，?(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________. ?y＝3cos θ

x2y2

解析：曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为a2＋9＝1.直x2y2?3?

线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为?2，0?，故曲线a2＋9＝1也经过这个点，代入

??3?3?解得a＝2?舍去－2?.

??

3答案：2 三、解答题

9．化下列参数方程为普通方程：

版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn

1－t??x＝1＋t，(1)?2t??y＝1＋t

(t∈R且t≠－1)；

1x＝tan θ＋??tan θ，(2)?11

y＝＋??cos θsin θ

π??

?θ≠kπ，kπ＋2，k∈Z?. ??

2

?x＝－1＋，?1＋t

解：(1)变形为?2

y＝2－，??1＋t

∴x≠－1，y≠2.∴x＋y＝1(x≠－1)． 1

?x＝

?sin θcos θ， (2)?sin θ＋cos θ

y＝??sin θcos θ. ②

①

②式平方，再结合①得y2＝x2＋2x. 1由x＝tan θ＋tan θ 知|x|≥2.

所以方程为(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．

10．物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出，求以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程．

解：设物体抛出的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)， 由于物体作平抛运动， x＝v0t，??

依题意，得?12

y＝－?2gt.?

这就是物体所经路线的参数方程．

11．舰A在舰B的正东，相距6 km；舰C在舰B的北偏西30°，相距4 km.它们准备围捕海中某动物，某时刻舰A发现动物信号，4 s后舰B、舰C同时发现这种信号，舰A于是发射麻醉炮弹．假设舰与动物都是静止的，动物信号的

版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn

传播速度为1 km/s，炮弹初速度为

203g

3 km/s，其中g为重力加速度，空

气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角．

解：以BA为x轴，BA中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,23)．设该动物位于P(x，y)．因为|BP|＝|CP|，所以P在线段BC3

的中垂线上，易知中垂线方程是y＝3(x＋7)．

x2

又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是4y2

－5＝1.

从而得P(8,53)．

设∠xAP＝α，则tan α＝kAP＝3，∴α＝60°.这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′(如图)．|PA|＝10，设弹道曲x′＝v0tcos θ，??线方程是?12(其中θ为仰角)．

y′＝vtsin θ－0?2gt?

3

将P(10,0)代入，消去t便得sin 2θ＝2，θ＝30°或60°.这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.

版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn