2016新课标三维人教B版数学选修4-4 2.1 曲线的参数方程

_2.1

曲线的参数方程

[对应学生用书P22]

[读教材·填要点]

定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个变量t的函数

?x＝f?t?，

?a≤t≤b① ?y＝y?t?，

如果对于t的每一个值(a≤t≤b)①式所确定的点M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M(x，y)，都可由t的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数．如果从参数方程中消去参数t，就得到联系x和y的方程F(x，y)＝0，则方程F(x，y)＝0是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程)．

[小问题·大思维]

1．参数方程中的参数t是否一定有实际意义？

提示：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．

2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？

提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如?x＝4t＋1，?x＝2m＋1，

?和?(m∈R) 都表示直线x＝2y＋1. ?y＝2t?t∈R??y＝m

[对应学生用书P22]

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将参数方程化为普通方程 [例1] 指出下列参数方程表示什么曲线： ?x＝1＋4cos t，(1)?(t为参数) ?y＝－2＋4sin t；?x＝5cos t，(2)?(t为参数) ?y＝4sin t；

－tt

?x＝2－2，(3)?(t为参数) －tt

?y＝2＋2.

[思路点拨] 本题考查化参数方程为普通方程的方法．解答此题需要从一个方程中解出t，代入另一个方程．

[精解详析] (1)(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，

即(x－1)2＋(y＋2)2＝16，表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆． ?x??y?(2)?5?2＋?4?2＝cos2t＋sin2t＝1， ????

x2y2

即25＋16＝1，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆． (3)x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4， 即y2－x2＝4. 又2t>0，y≥2

2t·2－t＝2，

故y2－x2＝4(y≥2)，它表示双曲线的上支．

(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：

①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．

②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如，对于参数方程1

x＝a?t＋??t?cos θ，?1y＝a?t－??t?sin θ，

如果t是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ

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＝1消参；如果θ是常数，t是参数，那么可以利用(t＋t)2－(t－t)2＝4消参．

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(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．

?x＝sin θ＋1，

1．已知曲线的参数方程为?0≤θ≤2π.

?y＝cos θ＋3，把它化成普通方程，并说明它表示什么曲线． 解：由x＝sin θ＋1，y＝cos θ＋3可得sin θ＝x－1， cos θ＝y－3.由sin2θ＋cos2θ＝1得(x－1)2＋(y－3)2＝1，

∴曲线的普通方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，它表示以(1,3)为圆心.1为半径的圆．

[例2] 经过原点作圆x2－2ax＋y2＝0的弦，求这些弦的中点的轨迹参数方程．

[思路点拨] 本题考查曲线参数方程的求法．解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x和y.

[精解详析] 如图，设OQ是经过原点的任意一条弦，OQ的中点是M(x，y)，设弦OQ和x轴的夹角为θ，取θ作为参数．已知圆的圆心是O′(a,0)，连接O′M，那么O′M⊥OQ，过点M作MM′⊥OO′，那么|OM|＝acos θ，

2

?x＝|OM′|＝|OM|cos θ＝acosθ，∴?(θ为参数) y＝|MM′|＝|OM|sin θ＝acos θsin θ，?

求曲线的参数方程

这就是所求轨迹的参数方程．

(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系，设(x，y)是轨迹上任意一点的坐标，画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．

第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数

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唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．

第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．

(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来．

2．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，交OA于D，PB∥OA.试求点P的轨迹的参数方程．

解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ.由PQ⊥OA，PB∥OA，得

x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2θ＝2acos2θ， y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以P点轨迹的参数方程为

2

?x＝2acosθ，ππ?(－2<θ<2) ?y＝2atan θ.

[对应学生用书P23]

一、选择题

2

?x＝2＋sinθ，

1．将参数方程?(0≤θ≤2π)化为普通方程为( ) 2

?y＝sinθ

A．y＝x－2 C．y＝x－2(2≤x≤3)

B．y＝x＋2

D．y＝x＋2(0≤y≤1)

解析：选C 化为普通方程：y＝x－2，但是x∈[2,3]，y∈[0,1]． 2．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A．(2,3)

B．(1,5)

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