复变函数的积分 复习题

16、如果

f(z)在|z?z0|?r0解析，并且limf(z)?A，

z??r?r0

1f(z)dz?A， ?2?iKr在这里Kr是圆|z?z0|?r，积分是按反时针方向取的。

那么对任何正数

f(z)在简单闭曲线C的外区域D内及C上每一点解

析，并且limf(z)??，那么

17、如果

z????f(z)??1f(?)d????2?iKr?-z?? 18、设

(当z?D时)。

(当z?C的内区域时)f(z)在单连通区域D内解析，并且不等于零。那么

g(z)在D内解析，使得eq（1） 存在一个

g(z)?f(z)；

（2） 对于整数

q?2，存在一个h(z)在D内解析，使得

[h(z)]?f(z)。

P(z)是一个n(n?1)次多项式，并且P(z)?0的根全部在区域所以D内，在这里D的边界是一条简单闭曲线C。设f(z)在D上解析。

19、设（1） 令

1f(t)P(t)?P(z)R(z)?dt (z?D)

?2?iCP(t)t?z1f(t)1， Q(z)?dt (z?D)2?i?CP(t)t?z证明R(z)是次数不超过n-1的一个多项式，并且Q(z)在D内

解析。

?z?D，

f(z)?P(z)Q(z)?R(z)，一

如果在D内解析的函数Q1(z)及次数不超过n-1的一个多项式R1(z)满足

f(z)?P(z)Q1(z)?R1(z)

那么 Q(z)?Q1(z),R(z)?R1(z).

(2)、证明