复变函数的积分 复习题

第三章、复变函数的积分 习题课：

1、 分别计算沿（1）直线段；（2）单位圆（

（3）单位圆的右半圆的下列积分：

|z|?1）的左半圆；

I??|z|dz。

?ii

2、 计算积分：

I??Rezdz，

L在这里L分别表示：（1）单位圆（按反时针方向从1到1取积分）；（2）从1沿直线段到2。

3、 设函数

zzf(z)当|z?z0|?r0(0?r0?1)时是连续

的。令M(r)表示|f(z)|在|z?z0|?r?r0上的最

大值，并且假定

r???试证明

limM(r)?0。

r???Kr在这里

lim?f(z)dz?0

Kr是圆|z?z0|?r。

4、 如果满足上题条件的函数

析，那么对任何

f(z)还在|z?z0|?r0内解

r?r0，

?

5、 计算积分：

Krf(z)dz?0

1?|z|?2z4?1dz。

6、 设

f(z)及g(z)在单连通区域D内解析，证明：

??????

?f(z)g'(z)dz?f(z)g(z)|??f'(z)g(z)dz

在这里从的。

?到?的积分是沿D内连接?及?的一条简单曲线取

7、 计算积分： （1）

I??Cdz； （2）I?lnzdz，

?CzC表示单位圆（按反时针方向从1到1取积分），而被积函

数分别取为按下列各值决定的解析分支：（1）1?1；（2）ln1?0或ln1?2?i。

在这里用

8、 如果积分路径不经过点

?i，那么

dz??01?z2?4?k? (k?0,?1,?2,...)

1

9、 证明： （1） （2）

|?(x?iy)dz|?2，C为联-i到i的线段；

C22|?(x?iy)dy|??，C为右单位圆|z|?1，

C22Rez?0；

dz|?2|?2，C为联i到i+1的线段。 （3）

Cz 10、设

f(z)在原点的邻域内连续，那么

lim?2?r?00f(re)d??2?f(0)。

i?10、 计算积分

dzedz（1）

?|z|?1z； （2）?|z|?2z2?2；

dzzdz（3）

?|z|?1z2?2； （3）?|z|?1(2z?1)(z?2)。

12、证明

zz21zed?()?

n?n!2?i|?|?3n!??在这里

nnz?C是围绕原点的一条简单闭曲线。

23??7??1d?13、设f(z)?，求f'(i?1)。

?|?|?3??z

14、通过计算

12ndz?|z|?1(z?z)z, (n?1,2,...)

证明

?

2?01?3?5???(2n?1)cos?d??2?。

2?4?6???2n2n15、如果在

|z|?1内，f(z)解析，并且

1， |f(z)|?1?|z|证明

|f

(n)1n(z)|?(n?1)!(1?)?e(n?1)!(n?1,2,...)。

n