甘肃省白银市2013年中考数学试卷

（2）利用科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为：n=200×30%=60人，即可得出m的值； （3）根据艺术类读物所在扇形的圆心角是：×360°=72°； （3）根据喜欢其他类读物人数所占的百分比，即可估计6000册中其他读物的数量； 解答：解 ：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%， 故本次调查中，一共调查了：70÷35%=200人， 故答案为：200； （2）根据科普类所占百分比为：30%， 则科普类人数为：n=200×30%=60人， m=200﹣70﹣30﹣60=40人， 故m=40，n=60； 故答案为：40，60； （3）艺术类读物所在扇形的圆心角是：故答案为：72； （4）由题意，得 （册）． ×360°=72°， 答：学校购买其他类读物900册比较合理． 点评：此 题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键． 26．（10分）（2013?白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

考点：矩 形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题：证 明题． 分析：（ 1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC． 第 13 页 共 17 页

解答：解 ：（1）BD=CD． 理由如下：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AEF和△DEC中，， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵AF=BD， ∴BD=CD； （2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD， ∴∠ADB=90°， ∴?AFBD是矩形． 点评：本 题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 27．（10分）（2013?白银）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E． （1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC； （2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．

考点：切 线的判定；勾股定理；垂径定理． 专题：计 算题． 分析：（ 1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值； （2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线． 第 14 页 共 17 页

解答：解 ：（1）∵半径OC垂直于弦AB， ∴AE=BE=AB=4， 在Rt△OAE中，OA=5，AE=4， ∴OE==3， ∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2， 在Rt△AEC中，AE=4，EC=2， ∴tan∠BAC===； （2）AD与⊙O相切．理由如下： ∵半径OC垂直于弦AB， ∵AC弧=BC弧， ∴∠AOC=2∠BAC， ∵∠DAC=∠BAC， ∴∠AOC=∠BAD， ∵∠AOC+∠OAE=90°， ∴∠BAD+∠OAE=90°， ∴OA⊥AD， ∴AD为⊙O的切线． 点评：本 题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理． 28．（12分）（2013?白银）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

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考点：二 次函数综合题． 分析：（ 1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式． （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得第 15 页 共 17 页

出的B点是否符合要求即可． （3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积． 解答：解 ：①∵函数的图象与x轴相交于O， ∴0=k+1， ∴k=﹣1， ∴y=x﹣3x， ②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D， ∵△AOB的面积等于6， ∴AO?BD=6， 当0=x﹣3x， x（x﹣3）=0， 解得：x=0或3， ∴AO=3， ∴BD=4 即4=x﹣3x， 解得：x=4或x=﹣1（舍去）． 又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25）． ∵2.25＜4， ∴x轴下方不存在B点， ∴点B的坐标为：（4，4）； ③∵点B的坐标为：（4，4）， ∴∠BOD=45°，BO==4， 222当∠POB=90°， ∴∠POD=45°， 2设P点横坐标为：﹣x，则纵坐标为：x﹣3x， 2即﹣x=x﹣3x， 解得x=2 或x=0， ∴在抛物线上仅存在一点P （2，﹣2）． ∴OP==2， 使∠POB=90°， ∴△POB的面积为： PO?BO=×4×2=8． 第 16 页 共 17 页