2018届安徽省六校教育研究会高三第一次联考试卷理科数学试题及答案

sinAsinAsin2A5sinB?b,sinC?c?sinBsinC?bc?（2分）

aaa2717. (12分)如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?D1A1B12. C1DAOBC

(Ⅰ) 证明:平面 A1BD // 平面CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.

（1）∵A1B1和AB，AB和CD分别平行且相等，∴A1B1和CD平行且相等，即有四边形A1B1 CD为平行四边形，∴A1D和B1C平行，同理A1B和D1C也平行，（4分）有D1C和B1C是相交的（相交于C），（2分）故平面A1BD平行于CD1B1

（2）?A1O?面ABCD?A1O是三棱柱A1B1D1?ABD的高.

在正方形AB CD中,AO = 1 . 在RT?A1OA中，A1O?1.（3分）

三棱柱A1B1D1?ABD的体积VA1B1D1?ABD?S?ABD?A1O?1?(2)2?1?1.（3分） 2所以，三棱柱A1B1D1?ABD的体积VABD?ABD?1.

11118．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y?2x?4,设圆C的半径为1，圆心在l上。

（1）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线，求切线

的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。 18．解：（1）由??y?2x?4得圆心C为（3,2），∵圆C的半径为1

?y?x?1∴圆C的方程为：(x?3)2?(y?2)2?1（1分）

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y?kx?3，即

kx?y?3?0

∴

3k?2?33?1∴3k?1?k2?1∴2k(4k?3)?0∴k?0或者k??

4k2?134∴所求圆C的切线方程为：y?3或者y??x?3即y?3或者

3x?4y?12?0（3分）

（2）解：∵圆C的圆心在在直线l:y?2x?4上，所以，设圆心C为（a,2a-4）

则圆C的方程为：(x?a)2??y?(2a?4)?2?1（2分）

又∵MA?2MO∴设M为（x,y）则x2?(y?3)2?2x2?y2整理得：

x2?(y?1)2?4设为圆D（3分）

∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即圆C和圆D有交点 ∴2?1?a2??(2a?4)?(?1)?2?2?1（2分） 解得，a的取值范围为：??0,12??（1分） 5??

19(12分)甲乙丙丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一，设Pn表示经过n次传递后球回到甲手中的概率，求：

(1)P2?之值 (2)Pn(以n表示之) 【簡答】(1) (2)Pn??(?)n?1

【詳解】經過一次傳遞後，落在乙丙丁手中的機率分別為，而落在

甲手中的機率為0，因此P1= 0，兩次傳遞後球落在甲手中的機率為P2= ×+×+×＝（4分）

下面考慮遞推，要想經過n次傳遞後球落在甲的手中，那麼在

13131313131313131313141413n－1次傳遞後球一定不在甲手中，所以Pn＝(1－Pn?1), n＝1,

2, 3, 4, …, 因此

1122P3＝(1－P2)＝×＝ ,

33391177P4＝(1－P3)＝×＝ ,

33279112020P5＝(1－P4)＝×＝ ,

332781116161 , P6＝(1－P5)＝×＝

33243811111∵Pn＝(1－Pn?1) （4分）∴Pn－＝－(Pn?1－)

4433111Pn－＝(P1－)?(?)n?1

344111所以Pn＝－?(?)n?1。（4分）

34413【評析】

1. 首先，當球在甲手中時，經過一次傳遞後，落在乙丙丁手中的機

率分別為, 而落在甲手中的機率為0，根據這個數學性質遞推下

13

去。

2. 先求P1= 0，再思考Pn、Pn?1的關係：

在n－1次傳遞後

一次傳遞?球在甲手中機率?P?????不可能再傳給甲n-1??1 一次傳遞??再傳給甲機率??球不在甲手中機率?(1?Pn-1)???3?因此Pn＝(1－Pn?1), n＝1, 2, 3, 4, …，由遞迴數列求出Pn，這是此題的思考過程。

20. (13分)已知函数f(x)?b?ax（其中a,b为常数且a?0,a?1）的图象经过点A(1,6),B(3,24).

（1）试确定f(x)?b?ax的解析式（即求a,b的值）

（2）若对于任意的x?(??,1],()x?()x?m?0恒成立，求m的取值范围； （3）若g(x)?的单调性。

20解：（1）由题知6=ba,24=ba3,解得b=3,a=2,即f(x)=3?2x（3分） (2)()x?()x?m?0在(??,1]上恒成立，即()x?()x?m在(??,1]上恒成立，另h(x)?()x?()x，x?(??,1],即m?h(x)min，（2分）由于

1155h(x)?()x?()x，x?(??,1]是减函数，故h(x)min?h(1)?，即m?（2分）

23663cx（3）g(x)?2，x?(?1,1)，（1分）下证单调性。

x?11213121312131a1b13cxf(x)(c?0,c为常数），试讨论g(x)在区间（-1,1）上x22(x?1)任取?1?x1?x2?1,则g(x1)?g(x2)?3cx13cx23c(x2?x1)(x1x2?1)??，（2分） 2222x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)