2016新课标三维人教B版数学必修4 1. 1 任意角的概念与弧度制

任意角的概念与弧度制

1．1.1 角的概念的推广

预习课本P3～6，思考并完成以下问题

(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？

(2)角的旋转量的性质是什么？

中国好课堂www.zghkt.cn

(3)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？

(4)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？

[新知初探]

1．任意角 (1)角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示：

如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

(3)角的分类：

名称 正角 负角 零角

(4)角的旋转量的性质：

各角和的旋转量等于各角旋转量的和，即α－β可化为α＋(－β)． 2．象限角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．

[点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合． 3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，包括角α本身构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

中国好课堂www.zghkt.cn

定义 按照逆时针方向旋转而成的角 按照顺时针方向旋转而成的角 一条射线没有作任何旋转形成的角 图示

(1)－30°是第四象限角．( ) (2)钝角是第二象限的角．( ) (3)终边相同的角一定相等．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．与45°角终边相同的角是( ) A．－45° C．395° 答案：D

3．下列说法正确的是( ) A．锐角是第一象限角 C．第一象限角是锐角 答案：A

4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．

答案：－25° 395°

任意角的概念

[典例] 下列命题正确的是( ) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角

[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，?，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．

[答案] C

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．

中国好课堂www.zghkt.cn

B．225° D．－315°

B．第二象限角是钝角 D．第四象限角是负角

[活学活用]

如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．

解析：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60°

终边相同角的表示

[典例] 写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角．

[解] 与75°角终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．

当360°≤β<1 080°时，即360°≤k·360°＋75°<1 080°， 1919

解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.

2424当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.

综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角．

1．终边落在直线上的角的集合的步骤 (1)写出在0°～360°范围内相应的角； (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合； (3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁． 2．终边相同角常用的三个结论

(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．

(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．

(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． [活学活用]

分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．

中国好课堂www.zghkt.cn