初中几何专题

ADABACDQOFEPEBCBDC第8题图 第9题图

8、如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD＝AE，AD、BE相交于P点，BQ⊥AD。已知PE＝1，PQ＝3，则AD＝ 。

第7题图 9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是 。 二、选择题：

1、如图，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中（ ）

A、全部正确 B、仅①和②正确 C、仅①正确 D、仅①和③正确

2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

3、在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，则∠ACB的度数是（ ） A、大于90 B、小于90 C、等于90 D、不能确定

A0

0

0

ARQSPCOBCB

第1题图

第4题图

4、如图，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝3，OA＝OC＝6，则∠OAB的度数为（ ） A、10 B、15 C、20 D、25 三、解答题：

1、阅读下面的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足ac?bc?a

?b，试判断△ABC的形状。

4222240000

解：∵ac?bc?a?b??①

∴c(a?b)?(a?b)(a?b)??② ∴a?b?c??③

∴△ABC是直角三角形。 问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。 2、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝3?3，求AB、AC的长。

2222222222222244 3、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。

（1）求证：G是CE的中点； （2）∠B＝2∠BCE。

ACEGBDCAB

第3题图

第4题图

4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB＝900，BC＝60米，∠A＝360。 （1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求最短路线CE的长（保留整数）；

（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元／米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。

参考数据：sin360＝0.5878，sin540＝0.8090

5、已知△ABC的两边AB、AC的长是方程x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0的两个实数根，第三边BC＝5。 （1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。

参考答案

一、填空题：

1、10或27；2、16.9；3、1350；4、33cm2；5、3?1；6、5；7、4 8、7；9、49 二、选择题：BDCB

三、解答题：

1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形

2、提示：过A作AD⊥BC于D，则AB＝32，AC＝23 3、提示：连结ED

4、（1）51米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，造价2427元。 5、（1）2；（2）k＝4或3，当k＝4时，面积为12。

5.角平分线、垂直平分线

知识考点：

了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：

【例题】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝300，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，求证：CF＝2BF。

分析一：要证明CF＝2BF，由于BF与CF没有直接联系，联想题设中EF是中垂线，根据其性质可连结AF，则BF＝AF。问题转化为证CF＝2AF，又∠B＝∠C＝300，这就等价于要证∠CAF＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF＝2AF＝2BF。

分析二：要证明CF＝2BF，联想∠B＝300，EF是AB的中垂线，可过点A作AG∥EF交FC于G后，得到含300

角的Rt△ABG，且EF是Rt△ABG的中位线，因此BG＝2BF＝2AG，再设法证明AG＝GC，即有BF＝FG＝GC。

AEEABFCBFGC例题图2

分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD⊥BC于D，则BD＝CD，考虑到∠B＝300，不妨设

例题图1 EF＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

EAEA123BFDCBDC例题图3

问题图

探索与创新：

【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：

三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC中，AD是角平分线。求证：

分析：要证

BDDC?ABACBDDC?ABAC。

，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、

BDDC?ABACC在同一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式中，AC

恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、CD、AB的第四比例项AE，这样，证明

BDDC?ABAC就可以转化为证AE＝AC。

证明：过C作CE∥AD交BA的延长线于E ??1??2? CE∥AD???2??3??1??E?????∠E＝∠3?AE＝AC ?? CE∥AD? ∴

BDDC?BDDCABAC?ABAE

（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；

（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ） ①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想

（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，求BD的长。

答案：

359cm

评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。

跟踪训练：

一、填空题：

0

1、如图，∠A＝52，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB＝ 。

2、如图，已知AB＝AC，∠A＝44，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝ 。

BA0

AAEMDODNDEBCBCACBC

第1题图

第2题图

第3题图

第4题图

3、如图，在△ABC中，∠C＝900，∠B＝150，AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD＝8，则AC＝ 。 4、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24，BC＝10，则AB＝ 。 5、如图，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，若∠G＝68，那么∠P＝ 。

NCFP0

AGCDDFE123B4ABEMBCA选择第1题图 二、选择题：

1、如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于点F，且∠A＝600，则∠BFC等于（ ）

填空第5题图 选择第2题图 A、800 B、1000 C、1200 D、1400 2、如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D＝360，则∠C的度数为（ ）

A、820 B、720 C、620 D、520

3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm，则此三角形三边长分别是（ ）

A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm C、8 cm、8 cm、14cm或12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对 4、如图，Rt△ABC中，∠C＝90，CD是AB边上的高，CE线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ） A、0组 B、2组

C、3组 D、4组

5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么 A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三、解答题：

0

C是中线，CF是∠ACB的平分

AEFDB选择第4题图 这个三角形是（ ） 三角形 D、不能确定

1、如图，Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D，求证：MA＝MD。

DBMAAFFACBDECBDEC第1题图

第2题图

第3题图

2、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC，求证：AE平分