2017年扬州市高三数学二模试卷（3月）

南通市2017届高三第二次调研测试

数学Ⅰ

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

参考公式：

（1）球的体积公式：V球?4πR3，其中R为球的半径．

3（2）锥体的体积公式：V锥体?1Sh，其中S为锥体的底面积，h为高．

3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．3，4 ?，B?? ?1，0，2，3 ?，则A?B? ▲ ． 1． 已知集合A?? 0，2． 已知复数z?3?i，其中i为虚数单位，则复数z的模是 ▲ ． 1?i纤维长度 [22.5，25.5) 频数 3 8 9 11 10 5 4 3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是 ▲ ．

（第3题） i←1

While i < 6 i←i?2 S←2i?3 End While Print S

[25.5，28.5) [28.5，31.5) [31.5，34.5) [34.5，37.5) [37.5，40.5) [40.5，43.5] （第4题） 4． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组

数学Ⅰ试卷 第1页（共4页）

及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm的根数是 ▲ ． 5． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的

概率是 ▲ ．

6． 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2?4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标 是 ▲ ．

7． 现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实 心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm． 8． 函数f(x)?lg?5?x2?的定义域是 ▲ ．

9． 已知?an?是公差不为0的等差数列，Sn是其前n项和．若a2a3?a4a5，S9?27，则a1的值 是 ▲ ．

10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：?x?4???y?8??1，圆C2：?x?6???y?6??9．

若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是 ▲ ．

→→11．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA?3，OC?5．若AB·AD??7，则 →→ BC·DC的值是 ▲ ．

12．在△ABC中，已知AB?2，AC2?BC2?6，则tanC的最大值是 ▲ ．

??x?m，x?0，13．已知函数f(x)??2其中m?0．若函数y?f?f(x)??1有3个不同的零点，则

x≥0，?x?1，2222A O B (第11题)

D C m的取值范围是 ▲ ．

b?R?恒成立，则当a?b取得最小值 14．已知对任意的x?R，3a?sinx?cosx??2bsin2x≤3 ?a， 时，a的值是 ▲ ．

数学Ⅰ试卷 第2页（共4页）

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 ．．．．．．．

证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

π． 已知sin??π?2，??π，2410????求：（1）cos?的值； （2）sin2??π的值．

4

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC?A1BC11中，AC?BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E． 求证：（1）DE∥平面B1BCC1； （2）平面A1BC?平面A1ACC1．

17．（本小题满分14分）

A

B (第16题)

??

A1

B1 E D C1

C

2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1 (a?b?0)的离心率为2，C为椭圆上

3ab位于第一象限内的一点．

（1）若点C的坐标为2，5，求a，b的值；

3→1→（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且AB?OC，求直线AB的斜率．

2

y C B A O x ??

数学Ⅰ试卷 第3页（共4页） (第17题)

18．（本小题满分16分）

一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30° 方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是 走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．

（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；

（参考数据：sin17°?3，33?5.7446）

6（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

A

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)?1x，g(x)?lnx，其中e为自然对数的底数．

e（1）求函数y?f(x)g(x)在x?1处的切线方程；

（2）若存在x1，x2?x1?x2?，使得g(x1)?g(x2)???f(x2)?f(x1)?成立，其中?为常数，

求证：??e；

1?，不等式f(x)g(x)≤a(x?1)恒成立，求实数a的取值范围． （3）若对任意的x??0，(第18题)

北

l 领海 公海B

30°

20．（本小题满分16分）

设数列?an?的前n项和为Sn?n?N*?，且满足：

① a1 ? a2 ；②r?n?p?Sn?1??n2?n?an??n2?n?2?a1，其中r，p?R，且r?0． （1）求p的值；

（2）数列?an?能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r ?2时，数列?an?是等差数列．

数学Ⅰ试卷 第4页（共4页）