2019-2020年高考数学一轮复习高考大题专项练1高考中的函数与导数

从而当a<0时,ln+1≤0,即f(x)≤--2.

5.解(1)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,定义域为(0,+∞),f'(x)=-1+,显然x∈(0,1),f'(x)>0;

x∈(1,+∞),f'(x)<0.

于是f(x)在(0,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数,故f(x)max=f(1)=-1.

易知直线y=x+3的斜率k=1,设f(x)的切线斜率为1时,切点P(x0,y0)距离y=x+3最近.

由k==1,可知x0=,

则y0=-+ln,故P.

因此,d=(2)假设存在正实数a满足题中条件.

.

设F(x)=f(x)-g(x)(x>0),即F(x)=ax+lnx-ax,

22

则F'(x)=a+-2a2x=

=(x>0),

令F'(x)=0,得x=.

于是当x∈时,F'(x)>0;

当x∈时,F'(x)<0.

故F(x)在内是增函数,在内是减函数.

故F(x)max=F=a·+ln-a2·=1-lna-1=-lna.

要使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立,只需F(x)max≤0,即-lna≤0,即a≥1. 故存在正实数a∈[1,+∞),使f(x)≤g(x)恒成立. 6.解(1)f'(x)=(1-2x-x)e.

令f'(x)=0得x=-1-当x∈(-∞,-1-当x∈(-1-当x∈(-1+,x=-1+)时,f'(x)<0; ,-1+)时,f'(x)>0;

2

x.

,+∞)时,f'(x)<0.

),(-1+,+∞)内单调递减,在(-1-,-1+)内

所以f(x)在(-∞,-1-单调递增.

(2)f(x)=(1+x)(1-x)e.

x当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e,h'(x)=-xe<0(x>0), 因此h(x)在[0,+∞)内单调递减, 而h(0)=1,故h(x)≤1,

所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.

当00(x>0), 所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0, 故e≥x+1.

xxxxx当0(1-x)(1+x),(1-x)(1+x)-ax-1=x(1-a-x-x),取x0=(0,1),(1-x0)(1+x0)-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.

2

222

,则x0∈

当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)=1≥ax0+1.

2

综上,a的取值范围是[1,+∞).

7.解f'(x)=ax-(2a+1)+(x>0).

(1)f'(x)=(x>0).

①当a≤0时,x>0,ax-1<0,在区间(0,2)内,f'(x)>0,在区间(2,+∞)内,f'(x)<0,故f(x)的单调

递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).

②当02,在区间(0,2)和内,f'(x)>0,在区间

内,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是.

③当a=时,f'(x)=,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).

④当a>内,f'(x)<0,

时,0<<2,在区间和(2,+∞)内,f'(x)>0,在区间

故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是.

(2)对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)

①当a≤时,f(x)在(0,2]上单调递增.

故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2

=-2a-2+2ln2,

所以-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1.故ln2-1

②当a>时,f(x)在上单调递增,在f(x)max=f-(2a+1)+2ln=--2-2lna<0故a>时满足题意.

综上,a的取值范围为(ln2-1,+∞).

8.解(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.

①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,

所以(2x-1)2

=0,于是2x=1,解得x=0.

②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.

因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,

所以m≤对于x∈R恒成立.

而=f(x)+

≥2=4,且=4,

所以m≤4,故实数m的最大值为4.

(2)因为函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点, 而g(0)=f(0)-2=a0

+b0

-2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点. 因为g'(x)=axlna+bxlnb, 又由01知lna<0,lnb>0,

所以g'(x)=0有唯一解x0=lo.

上单调递减,故

.

令h(x)=g'(x),则h'(x)=(alna+blnb)'=a(lna)+b(lnb),从而对任意x∈R,h'(x)>0, 所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)内的增函数.

于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)g'(x0)=0. 因而函数g(x)在(-∞,x0)内是减函数,在(x0,+∞)内是增函数. 下证x0=0.

xxx2x2

若x0<0,则x0<又g(loga2)=<0,于是g-2>

-2=0,且函数g(x)在以

和loga2为端点的

闭区间上的图象不间断,所以在loga2<0.又

和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0

<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.

和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.

若x0>0,同理可得,在

于是-=1,故lna+lnb=0,所以ab=1.