概率论与数理统计(复旦大学出版社)第3章习题详解

（2） P{X?1,Y?3}???f(x,y)dydx

3 ???1k(6?x?y)dydx? 8813????1302(3)

P{X?1.5}?x?1.5??f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdyD11.5

??(4)

P{X?Y?4}?X?Y?40dx?42127(6?x?y)dy?.832??f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdyD224?x

??dx?0212(6?x?y)dy?.83

题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

fY（y）=

?5e?5y,y?0,?其他.?0,

求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.

题6图

5

【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

?1?,0?x?0.2,fX(x)??0.2?其他.?0,

而

?5e?5y,y?0,fY(y)??其他.?0,

所以

f(x,y)X,Y独立f (2)

P(Y?X)?X(x)gfY(y)

?1?5y?25e?5y,0?x?0.2且y?0,??5e??0.2??其他.?0,??0,f(x,y)dxdy如图??25e?5ydxdyD0.2x0.2y?x??

??dx?25e-5ydy??(?5e?5x?5)dx000=e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

F（x，y）=

?(1?e?4x)(1?e?2y),x?0,y?0,?其他.?0,

求（X，Y）的联合分布密度. 【解】

?2F(x,y)?8e?(4x?2y),x?0,y?0,f(x,y)????x?y其他.?0,

8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,?其他.?0,

求边缘概率密度.

6

【解】fX(x)??????f(x,y)dy

fY(y)??????x2???04.8y(2?x)dy?2.4x(2?x),0?x?1,=???其他.?0,??0,f(x,y)dx

?14.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2),0?y?1,?=??y??其他.?0,??0,

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

求边缘概率密度.

【解】f(x)??f(x,y)dy

??X??

题8图 题9图

?e?y,0?x?y,?其他.?0,

fY(y)?????????y?x???xedy?e,x?0,=???其他.?0,??0,

f(x,y)dx

y?y?x???0edx?ye,y?0,=???其他.?0,??0,

题10图

7

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

?cx2y,x2?y?1,?其他.?0,

（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度. 【解】（1） ??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdyD

1x =?dx?1-1cx2ydy?24c?1.21

得(2)

c?214.

????fX(x)??f(x,y)dy

fY(y)???????212?12124??x2xydy?x(1?x),?1?x?1,??4??8??其他.?0,?0,f(x,y)dx

?75?y212???yxydx?y2,0?y?1,????24?? 其他.?0,?0,11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

1,f（x，y）=??0,?y?x,0?x?1,其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

8