翻折图形题四（含答案）

答案与评分标准

一．解答题（共13小题）

1．如图，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC、∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，你能获得哪些结论？

考点：梯形；翻折变换（折叠问题）。 专题：开放型。 分析：折痕前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论．需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；（2）从题设条件无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形． 解答：解：可以得到下列结论：

（1）△DAE≌△FAE，△CBE≌△FBE，AD=AF，BC=BF，AD+BC=AB， ∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵将∠ABC、∠DAB分别对折，

易证△ADE≌△FAE，△BCE≌△BFE， ∴∠AEB=90°，AF=AD，BC=BF， ∴AB=BC+AD； （2）∠AEB=90°；

（3）梯形ABCD的面积=2S△AED=AE?EB．

点评：本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探索、发现的逄径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键．

2．如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B与点D重合，折痕为AG．连接DG并展开纸片．

（1）判断四边形ABGD的形状并说明你的理由；

（2）连接BD，交AG于点E，作∠BAG的平分线，交BD于点F，求证：EF+AG=AB．

考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；正方形的判定。 专题：证明题；探究型。

分析：由已知可得四边形ABGD是矩形，又因为AB=AD，所以四边形ABGD是正方形；过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于点E，则AE=AG，利用HL判定Rt△AMF≌Rt△AEF从而得到AM=AE，又知∠MFB=∠ABF=45°．所以MF=MB=EF，所以EF+AG=MB+AE=MB+AM=AB． 解答：解：（1）四边形ABGD是正方形．

∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°．

由沿AG折叠后△ABG与△ADG重合，知AB=AD，∠ADG=90°． ∴四边形ABGD是矩形，且邻边AB，AD相等． ∴四边形ABGD是正方形；（4分）

（2）证明：过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于点E， ∴AE=AG，∠ABD=∠GBD=45°．（6分）

∵AF平分∠BAG，∴EF=MF．（1分）

又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM（8分）（1分） ∠MFB=∠ABF=45°．∴MF=MB，∴MB=EF． ∴EF+AG=MB+AE=MB+AM=AB．（10分）

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及正方形的判定的理解及运用． 3．（2008?兰州）如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．

（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；

（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？

考点：二次函数综合题。 专题：压轴题；动点型。 分析：（1）根据折叠的性质可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的长，进而可求出CE的长，也就得出了E点的坐标．

在直角三角形CDE中，CE长已经求出，CD=OC﹣OD=4﹣OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的长，也就求出了D点的坐标．

（2）很显然四边形PMNE是个矩形，可用时间t表示出AP，PE的长，然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长，进而可根据矩形的面积公式得出S，t的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值． （3）本题要分两种情况进行讨论：

①ME=MA时，此时MP为三角形ADE的中位线，那么AP=，据此可求出t的值，过M作MF⊥OA于F，那么

MF也是三角形AOD的中位线，M点的横坐标为A点横坐标的一半，纵坐标为D点纵坐标的一半．由此可求出M的坐标．

②当MA=AE时，先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长，然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP，MP的长，也就能求出t的值．根据折叠的性质，此时AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐标． 解答：解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴， ∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4． BE=

∴CE=2．

∴E点坐标为（2，4）．

在Rt△DCE中，DC+CE=DE， 又∵DE=OD．

222

∴（4﹣OD）+2=OD． 解得：OD=． ∴D点坐标为（0，）．

（2）如图①∵PM∥ED， ∴△APM∽△AED． ∴

，

2

2

2

=3．

又知AP=t，ED=，AE=5， PM=×=，

又∵PE=5﹣t．

而显然四边形PMNE为矩形．

S矩形PMNE=PM?PE=×（5﹣t）=﹣t+t； ∴S四边形PMNE=﹣（t﹣）+又∵0＜＜5．

∴当t=时，S矩形PMNE有最大值

．

2

2

，

（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①） 在Rt△AED中，ME=MA， ∵PM⊥AE，

∴P为AE的中点， ∴t=AP=AE=．

又∵PM∥ED，

∴M为AD的中点．

过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，

∴MF=OD=，OF=OA=，

∴当t=时，（0＜＜5），△AME为等腰三角形． 此时M点坐标为（，）．

（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②） 在Rt△AOD中，AD=

过点M作MF⊥OA，垂足为F． ∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED． ∴∴t=AP=

．

=

=2

，

=

=

．

∴PM=t=．

∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2， ∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5﹣2综合（i）（ii）可知，t=或t=2

，）．

时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，

，

）．

相应M点的坐标为（，）或（5﹣2

点评：本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用等知识点，综合性较强．

4．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上． 求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？

（2）若设AK=x，SEFGH=y，试写出y与x的函数解析式． （3）x为何值时，SEFGH达到最大值．