2020版高考数学一轮复习课后限时集训59随机事件的概率、古典概型与几何概型理（含解析）新人教A版

课后限时集训(五十九) 随机事件的概率、古典概型与几何概型

(建议用时：60分钟) A组 基础达标

一、选择题

1．(2019·辽宁联考)某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，任意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为( ) 1A. 52C. 5

2

B.

3 10

3D. 5

2

C2＋C342

C [设事件A为“中奖”，则P(A)＝2＝＝.故选C.]

C5105

2．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件： ①至少有1个白球与至少有1个黄球； ②至少有1个黄球与都是黄球； ③恰有1个白球与恰有1个黄球； ④恰有1个白球与都是黄球． 其中互斥而不对立的事件共有( ) A．0组 C．2组

B．1组 D．3组

B [①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰有1个白球和1个黄球，①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件．④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B.]

3．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a－2)e＋b为减函数的概率是( ) 3

A. 102C. 5

2

2

x3B. 51D. 5

x2

C [函数f(x)＝(a－2)e＋b为减函数，则a－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，

a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率P＝

选C.]

4．在区间[0，π]上随机取一个数x，使cos x的值介于－1A. 3

2×22

＝.故5×25

33

与之间的概率为( ) 22

2

B. 3

- 1 -

3C. 8

B [cos x的值介于－

5

D. 8

335ππ2π

与之间的区间长度为－＝.由几何概型概率计算公式，得22663

2π

32P＝＝.故选B.] π－03

5.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落在阴影部分(曲线C的方程为x－y＝0)的点的个数约为( ) A．3 333 C．7 500

2

2

B．6 667 D．7 854

3

?x?12正方形的面积为1，

B [题图中阴影部分的面积为?1(1－x)＝?x－?0＝，设落在阴影部分的

33???0

23n

点的个数为n，由几何概型的概率计算公式可知，＝，n≈6 667，故选B.]

110 000二、填空题

6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是________． 9C29 [所求概率为P＝1－2＝.] 10C510

7.(2018·湖北四校联考)如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为________．

1

[设六角星的中心为点O，分别将点O与两个等边三角形的六个交2

点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与1

其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝.]

2

8．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目

标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：

7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．

0．4 [根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8

8045 9597 7424，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为＝0.4.]

20三、解答题

- 2 -

2

9．(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数 保 费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 频数 0 60 1 50 2 30 3 30 4 20 ≥5 10 (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

[解] (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于260＋50的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.

200

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于30＋301且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.

200(3)由所给数据得 保费 频率 0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.

10．(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

[解] (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果

- 3 -

为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种． 5

所以，事件M发生的概率P(M)＝.

12

B组 能力提升

1．(2019·武汉模拟)一张储蓄卡的密码共有6位数字组成，每位数字都可以是0～9中的任意一个．某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为( ) 2A. 51C. 5

B.D.3 101 10

1

C [依题意知，最后一位数字是0～9这10个数字中的任意一个，则按1次按对的概率为；

10911111

按2次按对的概率为×＝.由互斥事件的概率计算公式得所求的概率P＝＋＝，故

1091010105选C.]

2.(2019·济南模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形．现从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) 1

A. 83C. 16

1B. 43D. 8

3

C [设大正方形的面积为4S，则5号板与7号板的面积之和为S，所以从这个大正方形内任

43S43

取一点，则此点取自阴影部分的概率是＝.]

4S16

3．(2018·太原一模)某人在微信群中发了一个7元的“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是________．

22

[利用隔板法将7元分成3个红包，共有C6＝15种领法．甲领3元不少于乙、丙分别领到5

的钱数的分法有3元，3元，1元与3元，2元，2元两种情况，共有A2＋1＝3种领法；甲领4元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有4元，2元，1元一种情况，共有A2＝2种领法；甲领5元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有5元，1元，1元一种情况，共有1种领法，

2

2

- 4 -

3＋2＋12

所以甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是＝.]

1554.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：

X Y 1 51 2 48 3 45 4 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；

Y 频数 51 48 4 45 42 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率． [解] (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：

Y 频数 所种作物的平均年收获量为 51 2 48 4 45 6 42 3 51×2＋48×4＋45×6＋42×3690

＝＝46.

15152

(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，

15

P(Y＝48)＝.

故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为

415

P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.

21542155

- 5 -