2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 10.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理

§10.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1． 分类加法计数原理

完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，??，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋?＋mn种方法(也称加法原理)． 2． 分步乘法计数原理

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，??，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×?×mn种方法(也称乘法原理)．

3． 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的方法的种数．它们的区别

在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．

( × ) ( √ )

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．

(3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．

( √ )

(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝

1,2,3，，?，n)，那么完成这件事共有m1m2m3?mn种方法．

( √ )

2． 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方

法共有________种． 答案 32

解析 每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)．

3． 有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则

不同的配法种数是________． 答案 12

解析 由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．

4． 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

________种． 答案 24

解析 分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)．

5． 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用

数字作答) 答案 14

解析 数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：

“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数． “2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数． “2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成14个这样的四位数．

题型一 分类加法计数原理的应用

例1 高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，

女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．

(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？

思维启迪 用分类加法计数原理． 解 (1)完成这件事有三类方法

第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，

根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)选法． (2)完成这件事有三类方法

第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法． 综上知，共有30＋30＋20＝80(种)选法．

思维升华 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．

(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

x2y2

(2)方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那

mn么这样的椭圆有多少个？

解 (1)分析个位数字，可分以下几类：

个位是9，则十位可以是1,2,3，?，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，?，7中的一个，故有7个； 同理，个位是7的有6个； 个位是6的有5个； ?

个位是2的只有1个．

由分类加法计数原理，满足条件的两位数有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． (2)以m的值为标准分类，分为五类． 第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择； 第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择； 第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择； 第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择； 第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．

∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(种)方法， 即有20个符合题意的椭圆． 题型二 分步乘法计数原理的应用

例2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？

(不一定六名同学都能参加)

(1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．

思维启迪 可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．

解 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，

知共有选法36＝729(种)．

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．

(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．

思维升华 利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：

(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数； (2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图像开口向上的二次函数．

解 (1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．

(2)y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图像开口向上的二次函数． 题型三 两个原理的综合应用

例3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一

条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方 法总数．

思维启迪 染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点 进行分类、分步，从不同角度解决问题．

解 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外