解析几何简介

解析几何教案 第一章向量与坐标

当λ<0时,有∠(l,λa)=?-∠(l,a)=?-?

射影l(λa)=?acos(???)??acos??λ射影la. 例 设在直角坐标系O;i,j,k下,向量a=Xi?YJ?Zk,试证明: 射影ia=X, 射影

j??b=Y, 射影kc=Z.

证 设径矢OP?a,那么a在坐标轴上的射影即为OP在坐标轴上的射影.设点P在x轴,y轴,z轴上的射影分别为A,B,C,那么

射影ia=OA=Xi, 射影

jb=OB=Yj,

射影kc=OC=Zk 由向量在轴上的射影定义得 射影ia=X, 射影

jb=Y, 射影kc=Z.

作业 P37 1,2

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解析几何教案 第一章向量与坐标

§1.7 两向量的数量积

教学目的: 理解数量积概念及其几何意义,掌握数量积的运算规律,在笛卡儿直角标

架中的表示法

教学重点: 用向量的分量表示数量积

教学难点: 在直角坐标下讨论向量的方向余弦、交角问题 一. 数量积概念 1.物理实例 质点在力f作用下,经过位移s,f力所作的功为W?fscos?, ?=∠(f,s) 2.数量积定义

向量a,b的模和它们夹角的余弦的乘积叫做向量a和b的数量积(内积),记做

a·bcos?(a,b). b或ab, 即a·b=a· (1) a·b是数量而不是向量.

(2) a=0或b=0时, a·b=0(思考:反之是否成立) (3) a,b均不为0时,

① a·射影ab=b射影ba(acos?(a,b)=射影ab,bcos?(a,b)=b=a·射影ba)

② a·e=射影ea

a=a (a·a叫做a的数量的平方,记做a), a=a或a2=a2 ③ a·

④ cos?(a,b)=22

2a?bab

⑤ a?b?a?b?0

证 ?由定义易知.? 若a,b均不为0时, 则有cos?(a,b)=0,从而a?b;

若a,b中有零向量,由于零向量的方向不定,可以把它看成与任意向量垂直, 所以

a?b,得证. 二.运算规律

a 1) 交换律 a·b=b·

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解析几何教案 第一章向量与坐标

b=λ(a·2) 关于数因子的结合律 (λa)·(λb) b)=a·

3) 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 推论: (?a??b)?c??(a?c)??(b?c)

证 若有零向量,则运算律显然成立.现假设它们都是非零向量.

1) 由定义显然成立.

b=b射影b(λa)= 2) 若λ=0,则显然成立;若λ?0那么有(λa)·

a=λ(λb)=(λb)·b(λ射影ba)=λ(b射影ba)=λ(a·b).而由交换律有a·

b).关于数因子的结合律成立. a)=λ(a·(b·

3) (a?b)?c=c射影c(a+b)=c(射影ca+射影cb)=

c+b·c. c射影ca+c射影cb=a·

由上可知,向量数量积的运算可以象多项式的乘法那样进展开, 如

(a+b)(a-b)=a－b (a?b)?a?2ab＋b

22222 例1证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和. 证 如图,在平行四边形OACB中,设两边为OA?a,OB=b,

对角线OC?m,BA?n,那么m=a+b,n=a-b,

于是

m?n?2(a?b) 即m?n?2(a?b).

22222222 例3 三角形的三条高交于一点.

证 设三角形ABC的BC,CA两条边上的高交于P点,再设

PA?a,PB?b,PC?c,则AB?b?a,BC?c?b,CA?a?c 因 PA?BC,所以a?(c?b)=0,即ac=ab;又因为PB?CA,

所以b?(a?c)?0,ab?bc;从而ac?bc 即c?(b?a)?0,所以PC?AB.如此证明了点P在三角形ABC的第三条边AB的高线上,命题得证.

4)课堂练习·判断下列关系式是否成立.(a,b,c为两两不共线的向量)

2① (a?b)?ab ② a(a?b)?ab

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解析几何教案 第一章向量与坐标

③ 若c?a?c?b,则a?b. ④ 若p?b?a?ba2a,则p与a的夹角为

?2.

⑤ 若cos?(c,b)=0,则(a?c)?b?a?b

二. 内积的坐标表示

1.内积的表示(在直角坐标系O;i,j,k下,用向量的分量表示数量积.) 设a?X1i?Y1j?Z1k,b?X2i?Y2j?Z2k,那么a?b?X1X2?Y1Y2?Z1Z2 推论 设a?X1i?Y1j?Z1k,那么a?i?X,a?j?Y,a?k?Z. 2.两点距离与方向余弦

(1) 设a?X1i?Y1j?Z1k,那么a?a?X2?Y2?Z2;空间两点P1(x1,y1,z1),

2??P2(x2,y2,z2)的距离是 d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.

(2)向量与坐标轴(或坐标向量)所成的角叫做向量的方向角,方向角的余弦叫做向量的方向余弦.一个向量的方向完全可由它的方向角确定,向量的方向余弦也可用向量的分量来表示.

①非零向量a?X1i?Y1j?Z1k的方向余弦是

cos??Xa?XX?Y?Z222,cos??Ya?YX?Y?Z222,cos??Za?ZX?Y?Z222

且有cos2??cos2??cos2??1,其中?,?,?分别为向量a与x轴,y轴,z轴的交角,即向量的三个方向角.

证 因为a?i?acos?,且a?i?X,所以acos?=X,从而cos??同理可证其余两式成立.

特别地,单位向量的方向余弦等于它的分量,即有a0??cos?,cos?,cos??.

②两向量的交角

Xa?XX?Y?Z222

设空间两非零向量为a?X1,Y1,Z1?,b?X2,Y2,Z2?,那么它们的夹角的余弦是:

cos?(a,b)=a?bab=

X1X2?Y1Y2?Z1Z2X1?Y1?Z1?222X2?Y2?Z2222

推论 向量a?X1,Y1,Z1?,b?X2,Y2,Z2?相互垂直 ?X1X2?Y1Y2?Z1Z2?0

③ 在平面直角坐标系下,平面的向量也有完全类似的结论.

设a?X1i?Y1j,b?X2i?Y2j,那么a?b?X1X2?Y1Y2,a?i?X,a?j?Y

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