全国数学高考二轮复习考点57 推理与证明-2020年高考数学(理)

15．【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）由0?x?1，得1?x?1?2， 要证f?x??1?x?x，

2只需证x3??x?1??1??x?1??1?x?x2， 只需证x4?x3?1?x3?1， 只需证x4?0， 因为x4?0恒成立， 所以f?x??1?x?x成立.

2??11?33?（2）因为1?x?x??x????，当且仅当x?时取等号，

22?44?22又f??1?12193?， ?????2?83244所以由（1）得f?x??3. 4【思路点拨】（1）要证原不等式成立，先将函数的表达式代入原不等式，两边乘以x?1，可以得到一个显然成立的结论，由此证得原不等式成立.

（2）利用（1）的结论，将（1）右边的二次函数配方，求出其最小值，由此可证得f?x??1?x?x2?而f?3，43?1?3?，由此可得. fx????244??16．【答案】（1）见解析；（2）a??41,b?,证明见解析. 55【解析】（1）因为f(n)[f(n?1)?1]?2[2?f(n?1)]，整理得f(n?1)?4?f(n)，

f(n)?214?212?7， ?，f(3)?由f(1)?2，代入得f(2)?12?22?252719所以f(3)?f(2)???．

5210141（2）由f(1)?2，f(2)?，可得a??,b?．

2554?

以下用数学归纳法证明：

41存在实数a??,b?，使

55①当n?1时，显然成立；

f(n)?14?3?1?????5?2?5n?1成立．

41②当n?k时，假设存在a??,b?，使得

55f(k)?14?3?1?????5?2?5k?1成立，

????14???1?k??4??3?1??????????5254?f(k)?????? 那么，当n?k?1时，f(k?1)??1f(k)?2?1?2k?4??3?1????????5??2?512?3?8????115?2?5??1???1， kkk?112?3?26?3?14?3?1?????????????5?2?55?2?55?2?5k141f(k?1)??1成立． k?1即当n?k?1时，存在a??,b?，使得

4?3?155?????5?2?5141f(n)??1对任意正整数n恒成立． n由①，②可知，存在实数a??,b?，使

?3?55a????b?2?【名师点睛】本题考查数列与函数相结合的转化能力，数学归纳法的具体应用，重在转化思想和计算能力的考查.求解时，（1）利用数列的递推关系，求出f(2)，f(3)，再证明f(3)?f(2)?过f(1)，f(2)判断a，b的值，然后采用数学归纳法进行证明.

9；（2）通10直通高考 1．【答案】B

【解析】方法一：如下图所示. 依题意可知：

AC5?1AB5?1?,?， CD2BC2① 腿长为105 cm得，即CD>105， AC?5?1CD?64.89， 2AD?AC?CD?64.89?105?169.89， 所以AD>169.89. ②头顶至脖子下端长度为26 cm， 即AB<26， BC?AB?42.07， 5?12AC=AB+BC<68.07， CD?AC?110.15， 5?12AC+CD<68.07+110.15=178.22， 所以AD<178.22. 综上，169.89

故选B.

方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则

2626?x5?1，得??xy?1052

x?42.07cm,y?5.15cm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为

42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．

【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题． 2．【答案】D 【解析】由??r，得r??R， RM1M2M1??(R?r)因为，

(R?r)2r2R3所以

M1M2M1??(1??)，

R2(1??)2?2R2R2M21?5?3?4?3?32??[(1??)?]??3?3， 即22M1(1??)(1??)解得??3M2， 3M13所以r??R?M2R. 3M1【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错． 3．【答案】A

【解析】两颗星的星等与亮度满足m2?m1?5E1lg,令m2??1.45,m1??26.7, 2E2lgE12E2???m2?m1??(?1.45?26.7)?10.1,1?1010.1. E255E2故选：A．

【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识?信息处理能力?阅读理解能力以及指数对数运算. 4．【答案】D

【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩．故选D．