全国数学高考二轮复习考点57 推理与证明-2020年高考数学(理)

【解析】由题意，因为同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，

a2则这两个正方形重叠的部分的面积恒为，

4类比到空间中由两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，

a3则这两个正方体的重叠部分的体积为，故选C.

8【名师点睛】本题主要考查了类比推理的应用，解答的关键是根据正方形的性质类比推理出正方体的性质特征，难度不大，属于基础题，着重考查了推理与论证能力．求解时，根据正方形中，其中一个的某

a2顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠的部分的面积恒为，结合正方体的结构特征，即可类比

4推理出两个正方体重叠部分的体积，得到答案． 5．【答案】B

【解析】由题意可得，第一组数字之和为1?1；第二组数字之和为3?5?8?23；

3第三组数字之和为7?9?11?27?33，依次类推，按照规律，归纳可得，第n组数字之和为Sn?n.

3故选B.

【名师点睛】本题主要考查了归纳推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).由题意可得，第一组数字之和为1；第二组数字之和为2；第三组数字之和为33，观察规律，归纳可得，第n组数字之和与其组的编号数n之间的关系. 6．【答案】D

【解析】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错； 若乙猜对，则甲或丙猜对，与题意不符，故乙猜错； 若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错； ∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对， ∴丁猜对． 故选D．

【名师点睛】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题

33

的真假判断及应用，是中档题．求解时，分别假设甲对、乙对、丙对、丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果． 7．【答案】C

【解析】对于双曲线而言，FB?AB，排除A，B．

7732c222222由FB?AB，得b?c?c?c?a?c?e?2?4?e?2，

224a故选C．

【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线离心率的计算，考查类比推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，先排除A，B，再根据FB?线的离心率得解. 8．【答案】C

【解析】由题意，A0纸的长与宽分别为118.9厘米，84.1厘米，

7AB求出双曲2118.9则A1纸的长为，A2纸的长为2118.92?118.9， 2(2)2118.9118.92118.9，A4纸的长为(2)3118.9≈29.7（厘米）A3纸的长为(2)． ??2(2)32(2)4故选C.

【名师点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键. 9．【答案】C

【解析】由题意知，乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个， 当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁是第一棒，甲是第四捧，符合题意， 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，丁只能跑第四棒，甲跑第一捧，不符合题意， 故跑第三棒的人是丙，故答案为丙.

【名师点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突

破点，从而使问题得以解决. 10．【答案】A

【解析】由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，

1?2n则杨辉三角形的前n项和为Sn??2n﹣1，

1?2若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn?n?n?1?2，

可得当n＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072， 故选A．

【名师点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．求解时，利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 11．【答案】D

11111???L??； 2k+12k?22k?33k31111111??L?????， n?k?1时，不等式为

2k?32k?43k3k?13k?23k?3311111?. ??比较可得，增加并减少

2k?12k?23k?13k?23k?3【解析】n?k时，不等式为故选D．

【名师点睛】用数学归纳法写递推式时，要注意从n?k到n?k?1时系数k对表达式的影响，防止出错的方法是依次写出n?k和n?k?1的表达式，对比增项是什么，减项是什么即可. 12．【答案】a?b3n3n?a2nbn?anb2n?n?N*?

【解析】利用归纳推理发现左边a,b的次幂为3n，右边两项相加，且次幂和为3n，a,b的次幂呈2倍的关系， 所以a?b3n3n?a2nbn?anb2n?n?N*?.

故填：.a?b3n3n?a2nbn?anb2n?n?N*?.

【名师点睛】归纳推理的一般步骤是两步，一是通过观察个别情况发现某些相同性质；二是从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）. 13．【答案】{2,?1}

【解析】x?x?(x?2)?x?2，即x2623??3?x2?(x?2)3?x?2，

3设f(x)?x?x，则f(x)在R上单调递增.

又∵fx???f(x?2)，∴x22?x?2，解得x?2或?1，故方程的解集是{2,?1}.

故答案为{2,?1}.

【名师点睛】本题主要考查类比推理，结合题中条件，找出适当的规律即可，属于常考题型.求解时，先由x?x?(x?2)?x?2得到x214．【答案】（1）623??3?x2?(x?2)3?x?2，构造f(x)?x3?x，进而得出结果.

bc；（2）详见解析. ?abbc. ?ab【解析】（1）大小关系为证明如下：要证bcbc，只需证?， ?abab由题意知a,b,c?0，只需证b2?ac，（已知条件）

故所得大小关系bc正确. ?ab（2）假设B是钝角，则cosB?0，

a2?c2?b22ac?b2ac?b2而cosB????0，

2ac2ac2ac这与cosB?0矛盾，故假设不成立. 所以B不可能是钝角.

【名师点睛】本题考查分析法与反证法，考查基本求证能力，属基本题.求解时，（1）利用分析法，将所证不等式转化为已知条件，即得结论；（2）利用反证法，先假设，再结合余弦定理得矛盾，即否定假设即得结论.