全国数学高考二轮复习考点57 推理与证明-2020年高考数学(理)

1n?n?1??2n?1?1n?n?1?1????=n?n?1??n?2?， 26226?当n?5时，Sn?故答案为：35；

1?5?6?7?35. 61n?n?1??n?2?. 6【名师点睛】本题考查归纳推理，累加法求通项，分组法数列求和，考查图形分析能力，逻辑推理能力，找到数字的演变规律是解题关键.求解时，通过观察图形，先将图形的规律转化为数字规律，通过观察发现，相邻的数字差分别是3，6，10，……，即第n项应为1?3?6?10?L，那么就把问题转化为求数

a2?a1?3?1?2，3，6，10，……， a3?a2?3，……， 列?an?的和，根据这些数字可以发现，?an?为1，

an?an?1?n，利用累加法可以得到an?12n?n?，再利用题目所给已知，求出前n项和，即为第n个?2四面体数，当n?5时，即为第5个四面体数. 3．【答案】B

【解析】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据， ∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论， ∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B．

【名师点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.根据题意，用三段论的形式分析即可得答案． 4．【答案】A

【解析】首先考查选项A：

若今天是周四，A，B，C，D，E五辆车分别在周一、周三、周二、周五、周四，满足题意， 据此可排除B，C，D，故选A．

【名师点睛】本题主要考查推理案例的处理方法，特殊值法处理选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．【答案】（1）a?2；（2）证明见解析. 【解析】（1）∵a3?2， ∴a3?a22??2， 2a22∴a2?4?4a2，解得a2?2，

同理解得a1?2，即a?2.

（2）要证n?2时，an+1?an(an?0)，

an2?an?112?12a只需证，只需证，只需证?2?1， n?12ananan2只需证an?4，只需证an?2，

an?12an?1an?122???2??2，当且仅当根据基本不等式得an?，即an?1?2时等号成立. 2a2an?12an?1n?1所以原不等式成立．

【名师点睛】本题考查实数值的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．求解时，（1）推导出a3?a22a2??2，解得a2?2，从而a2?1??2，由此能求出a的2a22a1值；（2）利用分析法，只需证结果．

6．【答案】（1）an?12?2?1，只需证an2?4，只需证an?2，根据基本不等式即可得到2an1；（2）见证明. 2n?11an， 2【解析】（1）当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1. 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an?1?所以{an}是首项为1，公比为所以an?1的等比数列， 21. 2n?1（2）(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，则2aq＋1＝ap＋1+ar＋1，即2?所以2·2r－q＝2r－p＋1.① 又因为p＜q＜r，r∈N*， 所以r－q，r－p∈N*.

所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．

111??r， qp222

【名师点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.求解时，（1）利用项和公式求数列{an}的通项公式；（2）利用反证法证明. 7．【答案】（1）a?1，f(x)max?0；（2）见证明.

【解析】（1）函数f(x)的定义域为(?1,??)．求导数，得f?(x)?1?a． 1?x11?a?11由已知，得f?(?)?1，即，∴a?1． 1?(?)221?x?1?此时f(x)?ln(1?x)?x，f?(x)?， 1?x1?x当?1?x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0． ∴当x?0时，f(x)取得极大值，该极大值即为最大值， ∴f(x)max?f(0)?0. （2）用数学归纳法证明：

①当n?1时，左边?1?lne，右边?ln2，∴左边＞右边，不等式成立．

111??L??ln(k?1)． 23k11111?ln(k?1)?那么1???L??，

23kk?1k?1②假设当n?k时，不等式成立，即1?由（1），知x?ln(1?x)（x??1，且x?0）．

111k?2?ln(1?)?ln，则，

k?1k?1k?1k?11k?2?ln(k?1)?ln?ln(k?2)， ∴ln(k?1)?k?1k?11111?ln(k?2)． ∴1???L??23kk?1令x?即当n?k?1时，不等式也成立．

根据①②，可知不等式对任意n?N*都成立．

【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导函数求函数的最值，数学归纳法证明不等式，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理能力，难度较大.求解时，（1）求出函数的导函数，利用

1f?(?)?1即可求出a的值，再利用导函数判断函数的增减性，于是求得最大值；（2）①当n?1时，

2不等式成立；②假设当n?k时，不等式成立；验证n?k+1时，不等式成立即可.

专题冲关 1．【答案】A

【解析】在推理过程“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b?平面?，直线a?平面

?，直线b∥平面?，则直线b∥直线a”中，直线平行于平面，则平行于平面内所有直线为大前提，由

线面平行的性质易得直线平行于平面，则直线可与平面内的直线可能平行、也可能异面，这是一个假命题，故这个推理过程错误的原因是：大前提错误. 故选A．

【名师点睛】由三段论的一般模式，可得结论.三段论是演绎推理的一般模式： （1）大前提——已知的一般原理； （2）小前提——所研究的特殊情况；

（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断. 2．【答案】D

“至少有一个”的否定为“一个也没有”即“三【解析】根据反证法的步骤可知，假设是对原命题结论的否定，角形三个内角都大于60度”，故选D．

【名师点睛】本题主要考查了反证法的概念，以及命题的否定的应用，着重考查了逻辑推理能力，属于基础题.求解时，根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，即可求得，得到答案. 3．【答案】A

【解析】证明函数y?x是增函数，依据的原理是增函数的定义，因此，用演绎法证明函数y?x是增

3函数时，大前提是：增函数的定义；小前提是函数y?x满足增函数的定义.

33故选A.

【名师点睛】本题主要考查演绎推理，熟记概念即可，属于基础题型.大前提提供了一个一般性的原理，小前提提出了一个特殊的对象，两者联系，即可得出结果.

【名师点睛】（1）归纳推理和演绎推理会出现错误的原因是由合情推理的性质决定的，但演绎推理出现错误，有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误．

（2）在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误.仔细分析“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b?平面?，直线

a?平面?，直线b∥平面?，则直线b∥直线a”的推理过程，不难得到结论．

4．【答案】C