全国数学高考二轮复习考点57 推理与证明-2020年高考数学（理）

专题57 推理与证明

（十八）推理与证明

1．合情推理与演绎推理

（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. （2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. （3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 2．直接证明与间接证明

（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. （2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3．数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

一、推理 1．推理

（1）定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．推理一般包含两个部分：一是前提，是指已知的事实(或假设)；二是结论，是由已知判断推出的新的判断，即推理的形式为“前提?结论”.

??合情推理（2）分类：推理?．

?演绎推理?

2．合情推理

（1）定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理. （2）特点：

①合情推理的结论是猜想，不一定正确； ②合情推理是发现结论的推理.

（3）分类：合情推理??归纳推理?类比推理．

（4）归纳推理和类比推理的定义、特征及步骤 名归纳推理 称 根据某类事物的部分对象具有某些特征，由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象定义 推出该类事物的全部对象都具有这些特的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结征的推理，叫做类比推理 论的推理，叫做归纳推理 特由部分到整体、由个别到一般的推理 征 ①通过观察部分对象发现某些相同性质 步②从已知的一个明确表达的一般性命题骤 （猜想）中推出相似性或一致性 3．演绎推理

（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． （2）特点：

①演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确；若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的，所得的结论就是错误的. ②演绎推理是证明结论的推理．

（3）模式：三段论是演绎推理的一般模式，即 ①大前提——已知一般的原理； ②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断. 【注】三段论常用的格式为： 大前提：M是P. 小前提：S是M.

得出一个明确的命题(猜想) ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，①找出两类事物之间的相同性质 由特殊到特殊的推理 类比推理

结论：S是P. 二、证明

1．直接证明——综合法与分析法 （1）综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：

公理等，Q表示要证的结论) ③思维过程：由因导果． （2）分析法

①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． ②框图表示：

③思维过程：执果索因． 2．间接证明——反证法

（1）定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. （2）反证法中的矛盾主要是指以下几方面： ①与已知条件矛盾； ②与假设矛盾；

③与定义、公理、定理矛盾； ④与公认的简单事实矛盾； ⑤自相矛盾． 三、数学归纳法

（1）概念：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

*①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0?N)时命题成立；

*②(归纳递推)假设n?k(k?n0,k?N)时命题成立，证明当n?k?1时命题也成立.

(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、

(其中P表示要证明的结论)

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

上述证明方法叫做数学归纳法. （2）框图表示：

（3）用数学归纳法证明的关键在于两个步骤，要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．因此必须注意以下两点： ①验证是基础

数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此，“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题． ②递推是关键

数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程中，必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题成立，在推导过程中，归纳假设要用一次或几次．

考向一 合情推理

常见的类比、归纳推理及求解策略：

（1）在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：

①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；

②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等． （2）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.

*典例1 在等差数列?an?中，若a10?0，则有等式a1?a2?L?an?a1?a2?L?a19?nn?19,n?N成

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