10把钥匙中有3把能打开门

相容事件的并, 则有

P(B)?P(AB)?P(AB)?12?24364??909010

又因AB,AB,AB,AB之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有

C?ABC?ABC?ABC?ABC分解为四个互不相容的事件的并, 且

12224??90872024372P(ABC)?P(AB)P(C|AB)???90872024372P(ABC)?P(AB)P(C|AB)???908720304120P(ABC)?P(AB)P(C|AB)???908720

P(C)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABCP(ABC)?P(AB)P(C|AB)?24?72?72?1202884??72072010则

因此有P(A)=P(B)=P(C), 证毕.

11、 用3台机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.

解: 设A1,A2,A3零件由第1,2,3个机床加工, B为产品合格, A1,A2,A3构成完备事件组. 则根据题意有

P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,

P(B|A1)=0.94, P(B|A2)=0.9, P(B|A3)=0.95

?

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由全概率公式得全部产品的合格率P(B)为

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.5?0.94?0.3?0.9?0.2?0.95?0.93i?1

12、12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.

解: 设A0,A1,A2,A3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A0,A1,A2,A3构成完备事件组.

设B为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有

3 6

3C31?2?31P(A0)?3??,C1212?11?102201C92C31?2?39?827P(B|A0)????3?,312?11?101?255C1212C9C31?2?3?9?327P(A1)???,312?11?10220C121C82C41?2?38?728P(B|A1)????4?,312?11?101?255C121C92C31?2?3?9?8?327P(A2)???,312?11?10?255C121C72C51?2?37?621P(B|A2)????5?,312?11?101?244C123C91?2?3?9?8?721P(A3)?3??,C1212?11?10?2?3551C62C61?2?36?59P(B|A3)????6?312?11?101?222 C12根据全概率公式有

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)i?03 13、某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱（隐含条件？）, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求: (1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;

(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件.

设A为取到甲厂的箱, A为乙厂的箱，则A与A构成完备事件组

3020P(A)??0.6,P(A)??0.45050P(B|A)?0.06,P(B|A)?0.0512727282721219???????220552205555445522?0.0022?0.0625?0.2341?0.1562?0.455 ?P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.6?0.06?0.4?0.05?0.056

(2) 设B为开箱混放后任取一个为废品的事件.

则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个, 乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此

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P(B)?

14、有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球,（隐含条件？） 乙袋中盛有一个白球两个黑球（隐含条件？）. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.

解: 设事件A为从甲袋中取出的是白球, 则A为从甲袋中取出的是黑球, A与A构成完备事件组. 设事件B为从乙袋中取到的是白球. 则P(A)=2/3, P(A)=1/3, P(B|A)=2/4=1/2, P(B|A)=1/4, 则根据全概率公式有

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??5?0.417122111???3234180?120300??0.055555555...3000?24005400

15、 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?

解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B已经发生条件下, 事件A和A发生的条件概率P(A|B)和P(A|B)哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P(B)已上题算出为0.417, 因此

21?P(A)P(B|A)32P(A|B)???0.8P(B)0.41711?P(A)P(B|A)34P(A|B)???0.2P(B)0.417 P(A|B)>P(A|B), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球

的可能性大.

16、甲, 乙两部门处理日常性事务, 根据长期资料总结, 甲部门办事评优的概率为1%, 乙部门办事评优的概率为2%,。现抽查两个部门的办事档案, 由乙部门处理的事务量比甲部门处理的事务量大一倍,。今从档案的事务中任意取出一件, 经检查恰好评优的案档, 试由此检查结果恰为甲部门所处理的概率.

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