2019届中考数学试题分类汇编：圆(含答案解析)

∵AE是直径 ∴∠ADE=90o ∴∠ADE=∠ABC

在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角

故△ADE∽△ABC………………………………2分 则

ADAE，即AC·AD=AB·AE…………4分 ?ABAC（2）解：连接OD ∵BD是圆O的切线

则OD⊥BD……………………………………………………………………5分 在Rt△OBD中，OE=BE=OD ∴OB=2OD

∴∠OBD=30o…………………………………………………………………6分 同理∠BAC=30o………………………………………………………………7分 在Rt△ABC中AC=2BC=2×2=4……………………………………………8分

15（泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙

O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F。 （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； A（2）若AE=6，CD=5，求OF的长。

B FO D

EC考点：切线的性质；平行四边形的判定． 分析：（1）根据切线的性质证明∠EAC=∠ABC，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代得到∠EAC=∠ACB，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合已知AB∥CD即可判定四边形ABCD是平行四边形；

（2）作辅助线，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD于点N，M，根据切割线定理求得EC=4，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定理的综合应用证明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可． 解答：（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A， ∴∠EAC=∠ABC， ∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB， ∴∠EAC=∠ACB， ∴AE∥BC， ∵AB∥CD，

∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M， ∵AE是⊙O的切线，

2

由切割线定理得，AE=EC?DE，

∵AE=6，CD=5，

∴6=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），

由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4， 又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC， 设OF=x，OH=Y，FH=z， ∵AB=4，BC=6，CD=5，

∴BF=BC﹣FH=3﹣z，DF=CF=BC+FH=3+z， 易得△OFH∽△DMF∽△BFN， ∴

，

，

2

即，① ②，

①+②得：①÷②得：

， ，

解

2

2

2

得，

∵x=y+z， ∴∴x=∴OF=

， ． ，

点评：本题考查了切线的性质，圆周勾股定理，等腰三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，垂径定理，相似判定和性质，勾股定理，正确得作出辅助线是解题的关键．

16. （杭州）如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′?OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点

B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.

BOP'图1O图2AP

【答案】解：∵⊙O的半径为4，点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，

点B在⊙O上， OA=8，

∴OA??OA?42, OB??OB?42，即OA??8?42, OB??4?42. ∴OA??2, OB??4.∴点B的反演点B′与点B重合. 如答图，设OA交⊙O于点M，连接B′M，

∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等边三角形. ∵OA??A?M?2，∴B′M⊥OM. ∴

A?B?2在

2B?4Rt?OB' M2?O22A. ?2中，

3?由

?勾股定理得

?O【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理.

【分析】先根据定义求出OA??2, OB??4，再作辅助线：连接点B′与OA和⊙O的交点M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等边三角形，从而在Rt?OB' M中，由勾股定理求得A′B′的长.

17（2015年浙江丽水8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC

交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F. （1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积.

【答案】解：（1）证明：如答图，连接OD，

∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB. ∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC. ∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD ∴DF⊥AC. （2）如答图，连接OE，

∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°. ∴∠BAC=45°. ∵OA=OB，∴∠AOE=90°.

∵⊙O的半径为4，∴S阴影?S扇形OAE?S?AOC?90???41??4?4???8. 3602【考点】等腰三角形的性质；平行的判定；切线的性质；三角形内角和定理；扇形和三角形面积的计算；转换思想的应用.

【分析】（1）要证DF⊥AC，由于DF是⊙O的切线，有DF⊥OD，从而只要OD∥AC即可，根据平行的判定，要证OD∥AC即要构成同位角或内错角相等，从而需作辅助线连接OD，根据等腰三角形等边对等角的性质由∠ABC=∠ODB和∠ABC=∠ACB即可得.

（2）连接OE，则S阴影?S扇形OAE?S?AOC，证明△AOE是等腰直角三角形即可求得

S扇形OAE和S?AOC.

安徽岳西县城关中学 李庆社（246600）