直线的参数方程,圆锥曲线的参数方程及其应用等高中数学

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直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用

一. 教学内容：

直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。

［基本知识点］

（1）直线的参数方程 <1>标准形式：

过点M0(x0,y0),且倾角为?的直线的参数方程的标准形式为:

?x?x0?tcos?(t为参数)?y?y?tsin?0?

<2>一般形式

?x?x0?at'(t'为参数且a2?b2?1)??y?y0?bt'

（2）参数t的几何意义及其应用 标准形式：

?x?x0?tcos?(t为参数)中,t的几何意义是表示定点M0(x0,y0)?y?y?tsin?0?

到直线上动点M(x,y)的有向线段M0M的数量

即M0M?t,故:

<1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1,t2，则弦长|AB|=|t1-t2|

tM?t1?t22

<2>定点M0是弦M1、M2的中点?t1+t2=0 <3>设弦M1，M2中点为M；则点M相应的参数 （3）圆锥曲线的参数方程

?x?rcos?圆x2?y2?r2的参数方程为?(?为参数)y?rsin?? <1>

x轴正方向的旋转角 其中?的几何意义动半径对于椭圆x2a2??x?acos??1的参数方程为(?为参数,其几何意义为离心?y?bsin?b2? y2 <2>

角）。

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?x?asec?双曲线的参数方程为?(?为参数)y?btg?? <3>

<4>抛物线y2=2px的参数方程为

??x?2pt2(t为参数)??y?2pt ?

（4）极坐标系的基本概念。

在平面内任取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和

角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M，用?表示线段OM的长度，?表示从Ox到OM的角度，?叫做M的极径，?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做点M的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。 （5）极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件：

极点与直角坐标系原点重合； 极轴与直角坐标系Ox轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。

<2>互化公式

?x??cos?(1)??y??sin??x2?y2??2?(2)?y?tg??(x?0)x?

（6）曲线的极坐标方程

<1>定义：在极坐标系中，曲线可以用含有?、?这两个变数的方程来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。

<2>直线与圆的极坐标方程。 过极点的直线方程?=?0（??R）

过点A（a,0），倾角为?的直线方程

?sin(???)?asin?

以极点为圆心，半径为r的圆的方程?=r 圆心在C（a,0），半径为a的圆的方程?=2acos?

圆心在（?0，?0），半径为r的圆的方程

?2?2??0cos(???0)??02?r2

【例题选讲】 例1

x2y2过双曲线??1的右焦点F作倾角为45?的直线l与双曲线交于A,B两点916

，M是AB的中点，求|MF|。

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解：方法一

依题意a=3,b=4,c=5

所以F(5，0)，又直线l的倾斜角为45度 所以k=1

?l的方程为y?x?5

x2y2联立??1和y?x?5916

得:7x2?90x?369?0 x1?x245??2780yM?xM?5??7

60?|MF|?27 ?xM?

解法2：依题意l的参数方程为：

?2t?x?5?x2y2?2代入??1?9162?y?t?2?

得7t2?1602t?512?0

小结： 方法二：用参数方程求解，且灵活运用参数t的几何意义，使求解过程变得简洁，同学们可以多尝试。 例2

??x?m?2cos?在直角坐标系中,椭圆???y?3sin?

?|MF|?|t1?t2|80?227

(m为常数，?是参数) ，和抛物线 32?x??t?2(t为参数)??y?6t?

有交点，试求m的取值范围。

解：解法1 化椭圆方程为普通方程。 3(x?m)2?4y2?12?0(1)

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抛物线方程化为普通方程为y2=6x-9 (2)

由（1）（2）联立消去y得x2+2(4-m)x+m2-16=0 (3) 因为椭圆与抛物线有交点 所以方程（3）的判别式： ??4(4?m)2?4(m2?16)?0

解得m?4

又y2?6(x?32),顶点坐标为(32,0),开口向右,故x?32 由(3)得x??(4?m)?28?2m?m?4?28?2m?32 整理得28-2m?112?m

?112?m?0?32?8m?1214?11m?m2

解得?12?m?72

若m?4?28?2m?32时,m值不存在,

综上可知,m的取值范围为?172?m?2

解法2：

根据题意，椭圆与抛物线有交点，而抛物线化为普通方程为y2=6x-9 又椭圆的方程为： ??x?m?2cos???(?为参数))?y?3sin?(2

把(2)代入(1)得3sin2??6m?12cos??9

整理得:m??12(cos??2)2?4

?当cos??1时,m??912?4??2为最小值 当cos???1时,m??12?4?72为最大值?m的取值范围为?172?m?2 (1)